Одна из задач на геометрию с регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников 2009 года, в которой используется интересная идея и совсем немного комбинаторики. Точек довольно много, чтобы перебрать все тройки и проверить, составляют ли они равнобедренный треугольник. Такое решение на олимпиаде набирало 40 баллов из 100. Давайте для начала будем перебирать лишь одну вершину - противоположную основанию. Если теперь выделить множество вершин, равноудалённых от выбранной, то все их попарные комбинации будут образовывать основание равнобедренного треугольника...

Давайте разберем, как найти высоту треугольника на примерах. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на ее продолжение). Пример 1. Равносторонний треугольник. Задача. Найти высоту равностороннего треугольника со стороной 𝑎. Решение: 1. Построение высоты. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60°. Высота, опущенная из вершины на противоположную сторону, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. 2. Использование теоремы Пифагора. Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников...