Оба эти слова, и беспечный, и обеспеченный имеют в своей основе печь. Только беспечный всегда был без печи, а обеспеченный её лишился. И тот, и другой, люди беззаботные, но беззаботность у них разная. Что значит беспечный. Удивительная игра русского языка определила для невнимательного и беззаботного человека оставаться всегда без печи. Беспечный – человек который несерьёзно относится к своим поступкам и не думает чем они могут закончиться. В стародавние времена, беззаботный, не думающий о будущем человек это, чаще всего, был скиталец не имеющий своего дома...

Легко подобрать к этому слову синоним  — «беззаботный». Но ведь корень-то здесь все-таки «печь»! А при чем тут она, если речь идет о беззаботности? Этимологическая закавыка. Существовало в древнерусском языке слово «печа», в котором «ч» могло звучать и как «к» — «пека»...