Одна из очень интересных для подготовки к профильной математике тем - это то, что называют "теоремой Птолемея". Сам Птолемей использовал ее для построения таблиц, которые затем применял для астрономических расчетов, ибо она связывает 4 точки, лежащие на одной окружности, и можно было проверять, находятся небесные тела на одной орбите, или на разных. В школе ее не изучают, опираться на нее при доказательствах нельзя. Конечно, можно ее просто использовать, если знаешь. Но более интересный вопрос...