Не так давно с несколькими учениками, которые готовятся к ЕГЭ, мы обсуждали тригонометрические формулы. Обычно школьники весь этот жуткий список из двух десятков формул учат наизусть, что приводит к забытым или перепутанным знакам, из-за которых случаются ошибки и слишком низкие баллы на экзамене. Потому что любая тупо заученная формула потенциально ведёт к ошибке. Если же у школьника есть представление о тригонометрии в целом и взаимосвязи между изученными формулами, то он может честно вывести забытую формулу из других...
Для вывода формул кратных углов воспользуемся формулой синуса и косинуса суммы двух аргументов: и Вывод данных формул смотрите в статье “Тригонометрические функции от суммы аргументов” Еще нам понадобится основное тригонометрическое тождество: Для начала найдем косинус удвоенного угла: Выразим квадрат синуса через квадрат косинуса, используя основное тригонометрическое тождество: Откуда: А сейчас найдем синус двойного угла: Теперь давайте найдем косинус трёхкратного угла: В последнее равенство подставим...