В своей книге «Апология математики» Владимир Успенский рассказывает о решенных, нерешенных и нерешаемых задачах великой науки. Мы публикуем главу об одной из этих проблем — совершенных числах. Проблема — это всегда требование что-то найти, указать, предъявить. Это «что-то» может иметь самую различную природу; этим «чем-то» может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение)...

Простые числа, отличающиеся на две единицы называются близнецами. На такие числа обратил внимание французский математик Альфонс де Полиньяк и у него возник вопрос: конечно или бесконечно число чисел близнецов? Очевидно, проблема: множество близнецов конечно или нет, является бинарной проблемой [ 1 ]. Теорема 1. Множество близнецов бесконечно. Доказательство. Допустим, что множество натуральных пар близнецов конечно. Первая пара натуральных близнецов - это (3, 5), т. е. n1 = 3. n1 + 2 = 5. вторая пара - это (5, 7), т. е. n2 =5, n2 + 2 = 7, ..., к-ая пара это (nк, nк + 2), а для любого nк+1 > nк пара (nк+1, nк +1 +2 ) не является близнецами...