Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

Рассмотрим решение несложной задачи, варианты которой для учащихся можно множить способом, указанным ниже. 1. Дан квадрат ABCD. Через его вершины провели четыре параллельные прямые и четыре перпендикулярные им прямые. При пересечении построенных прямых образовались два квадрата: KLMN и PQRS (см. рис.). Найдите сторону квадрата ABCD, если сторона квадрата KLMN равна 1, а сторона квадрата PQRS равна 7. Решение. Взаимно перпендикулярные прямые при пересечении со сторонами квадрата образуют прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной стороне квадрата...