Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

-Мы знаем, что она не имеет решения. Мы хотим знать, как ее решать! ("Понедельник начинается в субботу", А. и Б. Стругацкие) Существует мнение, что в математике царствуют точные решения, а если точного решения нет — то и всё на том. Хотя часто есть приближённое решение, пригодное для практики, которое и используется прямо под носом у математиков. Прямо классика "как наши надурили городских". Но это совершенно неверное представление! Да, математика называется точной наукой, и неспроста. Но это не означает, что она не умеет работать с приближениями...