Преобразование Лапласа для функции f(t) определяется как: F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt, где s — комплексная переменная. В нашем случае f(t) = u(t) = αt. Подставляя это в формулу преобразования Лапласа, получаем: U(s) = \mathcal{L}{αt} = α \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-st} t dt. Теперь нужно вычислить этот интеграл. Для этого можно использовать метод интегрирования по частям: Пусть u = t$, тогда du = dt и dv = e^{-st} dt, тогда v = -\frac{1}{s}e^{-st}. Тогда интеграл...

Лаплас внес значительный вклад в раздел дифференциальных уравнений, разработал методы математической физики. Он является одним из создателей теории вероятностей. Известна гипотеза Лапласа, в которой он математически обосновал устойчивость солнечной системы. У Пьера Симона Лапласа масса исследований. Как только он все успевал! С 1785 года Лаплас - действительный член Парижской Академии наук. В этом же году он знакомится с Бонапартом. Принимал у него вступительные экзамены и оценил его очень высоко...