Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

Сегодня, когда в квантовой теории поля понятия «симметрия», «суперсимметрия», «нарушение симметрии» стали одними из ключевых, полезно вернуться на век назад и вспомнить о математике фрау Нётер. О связи симметрии с законами физики учёные говорили и до Нётер. Такую связь искали в механике, в термодинамике, в электродинамике. Джеймс Клерк Максвелл, чтобы сделать симметричными, более гармоничными законы электромагнитного поля, искусственно ввёл представление о токе смещения, чем оказал науке неоценимую услугу...