Часто в математических кружках дают задачу определить, на сколько нулей заканчивается число 100!. (Восклицательный знак означает факториал. В частности, 100!=1*2*3*...*99*100, т.е. произведение натуральных чисел от 1 до 100.) Школьникам надо заметить, что число заканчивается на k или больше нулей, если в его разложении на множители входит минимум k двоек и минимум k пятёрок. Следующим продвижением будет соображение, что пятёрки встречаются реже, поэтому надо определить, на какую максимальную степень пятёрки делится 100!. Пятёрки входят в числа, кратные пяти (не очень неожиданно, правда?). Их ровно 100/5=20...

Гипотеза Лежандра - это математическая проблема, которая до сих пор не решена. Впервые она была предложена испанским математиком Хосе Лежандром в начале 20 века. Гипотеза утверждает, что для любого заданного целого положительного числа n существует набор из n различных точек на плоскости, таких, что сумма расстояний между любыми двумя из них является целым числом. Эта проблема активно изучалась с момента ее появления, но доказательств ее истинности так и не было найдено. Было показано, что гипотеза...