Полюбуйтесь-ка какая красота! Давайте разберëмся как она получается и почему устроена она именно таким образом. Перед нами очередная симпатичная фрактальная структура, которыми стала полна популярная математика последние лет 30, с тех пор, как появилась вычислительная техника и цветные мониторы. Эту картинку породил метод Ньютона — один из хорошо известных методов численного решения алгебраических уравнений. Суть его очень проста: имея некоторое приближение к точке, в которой график функции пересекает...

Докажите, что для любого натурального числа n⩾2 и для любых действительных чисел a[1], a[2], …,a[n], удовлетворяющих условию a[1]+a[2]+…+a[n]≠0, уравнение a[1](x−a[2])(x−a[3])…(x−a[n])+a[2](x−a[1])(x−a[3])…(x−a[n])+…+a[n](x−a[1])(x−a[2])…(x−a[n−1])=0 имеет хотя бы один действительный корень. По структуре многочлена из левой части уравнения кажется, что в задаче где-то "зарыт" интерполяционный многочлен Лагранжа. Но будем проще! Пусть a[1]<=a[2]<=...<=a[n-1]<=a[n]. Рассмотрим функцию f(x)= a[1](x−a[2])(x−a[3])…(x−a[n])+a[2](x−a[1])(x−a[3])…(x−a[n])+…+a[n](x−a[1])(x−a[2])…(x−a[n−1]). Если для...