Всем привет! Перед тем как разбирать следующую задачу с Уральского турнира хочется поговорить вот о чем. О прямой Гаусса, а точнее о теореме Гаусса–Боденмиллера. Так она по крайней мере часто называется в англоязычной литературе. Утверждение состоит в следующем. Теорема. Ортоцентры четырех треугольников, образованных четырьмя данными прямыми лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой Гаусса соответствующего четырехсторонника. В этом утверждении многое, на первый взгляд, может показаться непонятным, внесем ясность...

Начнем с определения. Точку назовем целой, если её координаты целые числа. Рассмотрим круг радиуса R. Сколько в нём целых точек? Давайте разбираться. Для удобства количество целых точек обозначим через K(R). При больших R число K(R) близко к площади круга. Рассмотрим величину Δ(R) равную K(R) – πR^2. Изучим поведение этой величины при стремлении R к бесконечности. Это и есть проблема Гаусса о числе целых точек в круге. Данная проблема является частным случаем более общей проблемы о числе целых точек...