Ким-Дан

Что такое "Вероятность и статистика"? Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей. Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка. Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка». Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Событие и виды событий Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными. Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз. Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх. Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза. Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку. Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например: A0 — в результате броска монеты выпадет орел; Ā0 — в результате броска монеты выпадет решка. Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Алгебра событий Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И. Сложение событий Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B. Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A1 + A2 + A3 + A4 + A5 состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A1, A2, A3, A4, A5, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A1, или событие A2, или событие A3, или событие A4, или событие A5. Примеров масса: Событие � 5 ‾ = � 1 + � 2 + � 3 + � 4 + � 6 B 5 ​ ​  =B 1 ​  +B 2 ​  +B 3 ​  +B 4 ​  +B 6 ​  (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков. Событие B1, 2 = B1 + B2 (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка. Событие BЧ = B2 + B4 + B6 (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков. Умножение событий Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A1A2A3 … A10 подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A1, и событие A2, и событие A3,..., и событие A10. Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события: A1 — на 1-й монете выпадет орел; Ā1 — на 1-й монете выпадет решка; A2 — на 2-й монете выпадет орел; Ā2 — на 2-й монете выпадет решка. Тогда: событие A1A1 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел; событие Ā2Ā2 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка; событие A1Ā2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете skysmart

ДРОБИ Доля это каждая из равных частей, на которые поделено целое. Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные. У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарине шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого. Как устроена обыкновенная дробь Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа. Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая. Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим. Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим. Черта между числителем и знаменателем — символ деления. Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2. Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным. Как устроена десятичная дробь В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так: 0,3 4,23 9,939 Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено. Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой. Свойства дробей Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так: где a, b, k — натуральные числа. Основные свойства Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c. Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны: Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю. Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д. Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000. У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь! Действия с дробями С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем. Сравнение дробей Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем: В обеих дробях знаменатель равен 5. В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4. 1 < 4 Поэтому первая дробь 1/5 меньше второй 4/5. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним 1/2 и 1/8. Как рассуждаем: Представим, что у нас есть торт. Так как знаменатель первой дроби равен 2, то делим торт на две части и забираем себе одну, то есть половину торта. Знаменатель второй дроби равен 8, делим торт на восемь частей и забираем крохотный кусочек. Половина торта больше больше маленького кусочка. Таким образом 1/2 > 1/8. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно приме

СТЕПЕНЬ Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд. an — степень, где: a — основание степени, n — показатель степени Свойства степеней В математике степень с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим. Мы будем употреблять такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа. Чтобы не запутаться, дадим им определение: Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы считать предметы: один банан, два банана. Целые числа — это все натуральные числа, все противоположные натуральным числам и число 0. Рациональными называют числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби. Например: 1/2; −5/3; 8/4. Иррациональные числа — это бесконечная десятичная дробь. Например, число пи как раз такое — 3,141592… Все, теперь мы точно готовы разбираться со свойствами степеней. Поехали! Свойство 1: произведение степеней При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем: an · am = am+n a — основание степени m, n — показатели степени, любые натуральные числа. Свойство 2: частное степеней Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. a — любое число, не равное нулю m, n — любые натуральные числа такие, что m > n Свойство 3: возведение степени в степень Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга. (an)m = an· m a — основание степени m, n — показатели степени, натуральное число Свойство 4: возведение в степень произведения При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются. (a · b)n = an · bn a, b — основание степени n — показатели степени, натуральное число Свойство 5: возведение в степень частного Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй. (a : b)n = an : bn a, b — основание степени, b ≠ 0, n — показатель степени, натуральное число Сложение и вычитание степеней Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания. 23+ 34= 8 + 81= 89 63- 33= 216 - 27 = 189

ТРАПЕЦИЯ Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а остальные две – нет. Параллельные стороны называются основаниями трапеции (AD и BC), две другие стороны – боковыми (AB и CD). Угол при основании трапеции – внутренний угол трапеции, образованный ее основанием и боковой стороной, например, α и β. Трапеция записывается путем перечисления его вершин, чаще всего, это ABCD. А основаниям обозначаются маленькими латинскими буквами, например, a и b. Средняя линия трапеции (MN) – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Высота трапеции (h или BK) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому. Виды трапеций Равнобедренная трапеция Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобокой). AB = CD Прямоугольная трапеция Трапеция, у которой оба угла при одной из ее боковых сторон прямые, называется прямоугольной. ∠BAD = ∠ABC = 90° Разносторонняя трапеция Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым. Свойства трапеции Перечисленные ниже свойства применимы к любым видам трапеций. Свойство 1 Сумма углов трапеции, прилежащих к одной и той же боковой стороне, равна 180°. α + β = 180° Свойство 2 Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется половине их суммы. Свойство 3 Отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, лежит на ее средней линии и равняется половине разности оснований. KL  – отрезок, соединяющий середины диагоналей AC  и BD KL лежит на средней линии трапеции MN Свойство 4 Точки пересечения диагоналей трапеции, продолжений ее боковых сторон и середин оснований лежат на одной прямой. DK – продолжение боковой стороны CD AK – продолжение боковой стороны AB E – середина основания BC, т.е. BE = EC F – середина основания AD, т.е. AF = FD Если сумма углов при одном основании равняется 90° (т.е. ∠DAB + ∠ADC = 90°), значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом, а отрезок, который соединяет середины оснований (ML) равняется половине их разности. Свойство 5 Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (при основаниях) подобны, а два других (при боковых сторонах) равны по площади. ΔAED ~ ΔBEC SΔABE = SΔCED Свойство 6 Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, можно выразить через длины оснований: Свойство 7 Биссектрисы углов трапеции при одинаковой боковой стороне взаимно перпендикулярны. AP  – биссектриса ∠BAD BR – биссектриса ∠ABC AP перпендикулярна BR Свойство 8 В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Т.е. AD + BC = AB + CD Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: R = h/2.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Противоположные стороны параллелограмма равны. |AB|=|CD|, |AD|=|BC|, Противоположные углы параллелограмма равны.  \angle A = \angle C,  \angle B=  \angle D. Противоположные стороны параллелограмма равны. |AO|=|OC|,|BO|=|OD| Равенство противоположных сторон: У параллелограмма противоположные стороны равны по длине. Это означает, что длина стороны AB равна длине стороны CD, а длина стороны BC равна длине стороны AD. Сумма углов параллелограмма: Сумма углов параллелограмма всегда равна 360 градусам. Это означает, что угол A + угол B + угол C + угол D = 360°.Эти свойства параллелограмма широко используются в геометрии и в различных областях ее применения, включая строительство, дизайн и физику.