OlympStudy

Сегодня будет задача посложнее. Она с Московской олимпиады 81 года я бы дал ей оценку 6/10. Сама по себе она не трудная, но нужно додуматься до одного факта. Итак, начнём с условия! Теперь я дам вам чуток времени вам подумать, чтобы кто-нибудь попытался самостоятельно решить эту задачу. Давайте пока поглядим на мем. Ну хорошо, думаю, что желающие разобраться в задаче либо решили ее, либо стали рвать на себе волосы. Давайте сначала обратим внимание на то, сколько весят две произвольные гири вместе...

Сегодняшняя задача была предложена школьникам на всесоюзном этапе школьной олимпиады 1982 года. Задача имеет следующий вид: Задача довольно легкая, заслуживает 4/10. Будем доказывать утверждение методом от противного. Предположим, что все три числа больше 1/2, т.е. Давайте перемножим их. Так как числа слева и справа неравенств положительны, то знак неравенств сохранится. Теперь вспомним элементарную тригонометрию (а если точнее,...

Сегодня у нас с вами будет разгрузочная задача. Ее уровень примерно 2/10. Давайте же поглядим на условия. Для решения воспользуемся известным неравенством средних. Если у нас есть конечный набор чисел, то их среднее арифметическое больше (либо равно) среднему геометрическому. Но все еще это не похоже на неравенство, которое нужно доказать. Тут нужно проявить сообразительность...

Итак, рассмотрим следующую задачу. Формулировка у нее очень простая: Эта задача была предложена на заключительном этапе олимпиады школьников (Всероссийская олимпиада 1993 года). Задача на 5 из 10. Для решения заметим следующий факт: Так как максимальная цифра у нас 9, значит сумма всех цифр нашего числа не превышает 9n. Но вообще-то: Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно. К сожалению, при n>=6 это неравенство нарушается. Поэтому мы понимаем, что условие задачи невозможно при n>=6, иначе мы придем к противоречию с самым первым фактом в нашем решении...

Добрый день! Сегодня мы с вами разберем задачу, которая предлагалась на Московской олимпиаде 1955 года. Само задание не очень сложное, по ощущениям на 4 из 10. Для доказательства этого утверждения нам понадобится принцип математической индукции. На самом деле, принцип математической индукции просто понять. Если наше утверждение верно для начального номера , то оно верно и для следующего ( это следует из утверждения 2). Но тогда оно верно и для номера, идущего за следующим (опять утверждение 2). Эту процедуру можно продолжать до бесконечности...