Онлайн-школа " Прорыв"

Задача №4 Найдите все значения параметра �a, при каждом из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение: Запишем уравнение в виде Продолжение следует >>

Задача №4 Найдите все значения параметра  а , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке  [4;8]. Решение: Уравнение равносильно следующей системе: Найдем значения параметра а , при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [4;8]...

Квадратное уравнение x² - px + q = 0, все коэффициенты которого являются натуральными числами, имеет корни, которые также являются натуральными числами. а) Найдите все значения p, если известно, что q = 5. б) Может ли быть p < 10, если известно, что q > 30 ? в) Найдите наименьшее значение p, если известно, что q > 30 ? Решение: а) Так как q = 5, уравнение примет следующий вид: x² - px + 5 = 0. По теореме Виета, произведение корней уравнения x₁ ∙ x₂ = 5, сумма корней x₁ + x₂ = p. Рассмотрим все возможные случаи: Значит, p = 6...

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат. Плоскость 𝛼 пересекает ребра SA, SB, SC, SD в точках L, K, M и N соответственно, причем SK : KB 3:1, а точки L и M – середины рёбер SA и SD. а) Докажите, что четырёхугольник KLMN является трапецией, длины оснований которой относятся как 2:3. б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями ABC и 𝛼 равен 30°, площадь сечения пирамиды плоскостью 𝛼 равна 10√2 , а площадь основания пирамиды равна 32. Решение: Заметим, что LM - средняя линия в треугольнике SAD, следовательно, LM || AD...

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения. Решение: Заметим, что система определена, если Графиком функции является парабола ветви которой направлены вверх. Графиком функции является прямая Графиком функции является прямая которая при любом значении параметра a проходит через точку с координатами (-1;0). Ровно два решения будет только в следующем случае: Прямая y=ax+a проходит через точку А(0;8) при a=8...

В июле 2025 года планируется взять кредит на 10 лет под 10% годовых. Условия возврата кредита таковы: Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат после полного его погашения равна 2090 тыс.руб. Решение: Пусть k = 1,1 - повышающий коэффициент; S - размер кредита; x - величина, на которую уменьшается долг в 2026-2030 гг.; b - величина, на которую уменьшается долг в 2031-2035 гг. Составим таблицу: Тогда общая сумма выплат: 5kS + 4000k - 5S - 4000 - kx(1+2+3+4) + x(1+2+3+4+5) - kb(1+2+3+4) + b(1+2+3+4+5) = 2090 Из (**) найдем b: 800 = 5b b = 160 тыс...

В прямой пятиугольной призме ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ высота AA₁ равна 3√5, BC=CD=6, а четырехугольник ABDE - прямоугольник со сторонами AB=5 и AE=4√5. а) Докажите, что плоскости CA₁E₁ и AED₁ перпендикулярны. б) Найдите объем многогранника CAED₁B₁. Решение: Получим сечение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью AED₁. Для этого соединим точки D₁ и B₁ ( т.к. EA || D₁B₁). Соединим точки A и B₁ (∈ (ABB₁A)). Искомое сечение AD₁B₁A. Получим часть сечения призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью CA₁E₁. Проведем медиану CH₁ в △СE₁A₁ и построим H₁H₂ || EE₁ || AA₁...

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t², где h - расстояние в метрах, t - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,3 с? Ответ дайте в метрах. Решение: Рассчитаем изначальное расстояние в метрах до воды...

В прямоугольном треугольнике ABC точка D лежит на катете AC, а точка F – на продолжении катета BC за точку C, причем CD = BC и CF = AC. Отрезки CM и CN – высоты треугольников ABC и FCD соответственно. а) Докажите, что CM и CN перпендикулярны. б) Прямые AF и BD пересекаются в точке K. Найдите DK, если BC = 3, AC = 9. Решение: а) Заметим, что ∆BCA=∆CFD по двум катетам (т.к. BC=CD, AC=CF, ∠BCA=∠DCF=90°) ⇒ ∠CBA=∠CDF. Пусть ∠CBA=∠CDF=x°, тогда ∠BCM=90°-x°, ∠MCA=x°, ∠DCN=90°-x°. Найдем ∠MCN = ∠MCA + ∠DCN = x° + 90° – x° = 90°...

В треугольнике АВС угол B равен 138°, AD и CE - биссектриса, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Рассмотрим ∆ABC: 2. Так как AD и CE- биссектрисы углов A и C, то ∠OAC + ∠OCA = 42°/2 = 21°...

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая –– 40%. Среди стекол, произведенных на первой фабрике, 3% имеют дефекты. Вторая фабрика выпускает 1% дефектных стекол. Все стекла поступают в продажу в магазины запчастей. Найдите вероятность того, что случайно выбранное стекло окажется с дефектом. Решение: Изобразим условие задачи с помощью следующей схемы...

На рисунке изображен график функции f(x)=|kx+b|. Найдите f(-15). Решение: Для того чтобы найти f(-15) нам необходимо знать уравнение, задающее функцию. Найдем значения коэффициентов k и b. Так как на чертеже представлена возрастающая часть функции, мы видим правую ветвь графика модуля. Отсюда следует, что b > 0. k - это угловой коэффициент прямой. Коэффициент k легко находится путем подсчета тангенса угла наклона прямой: k = tgα = ⅖ = 0,4. С учетом коэффициента k уравнение функции будет выглядеть следующим образом: f(x)=|0,4x+b| Функция проходит через точку (-2;4)...