48 подписчиков
🔍 Чтение с пристрастием: Многоугольник в круге
Первая антиномия чистого разума устроена как показательная казнь мысли. Кант доказывает, что мир имеет начало во времени, затем с той же строгостью доказывает обратное, и оба доказательства предъявляет читателю как безупречные. Меня заинтересовало первое. Если мир безначален, рассуждает Кант, то до нынешнего момента протекла вечность, завершился бесконечный ряд следующих друг за другом состояний. Но бесконечность ряда в том и состоит, что последовательным прохождением его завершить нельзя. Прошедшая вечность оказывается завершённой незавершимостью, и мир, спасая непротиворечивость, получает начало.
Моя версия была математической, и я считал её убийственной. Впишем в круг многоугольник и начнём удваивать число сторон. Шагов бесконечно много, процедура не завершается ни на каком члене, а результат при этом совершенно определён и конечен, площадь круга дана до всякого прохождения. Ряд одна вторая плюс одна четверть плюс одна восьмая суммируется к единице, хотя пересчитать его члены по одному не успеет ни одна вечность. Математика, которой пользовался сам Кант, спокойно владеет завершённым бесконечным. Его довод держится на отождествлении данности с пошаговым прохождением, а это отождествление опровергается любым сходящимся рядом. Довод тезиса, заключал я, разбит школьным примером.
Версия собеседника разводила спор по осям. Многоугольник и ряд дают бесконечное в предельном смысле. Существует последовательность приближений, существует величина, к которой приближения подходят сколь угодно близко, и слово «дано» означает здесь законность предельной операции, а не то, что кто-то прошёл бесконечность шагов. Никто её и не проходил, предел заменяет прохождение, вместо путешествия предъявляется теорема о его конечной точке. Кантовский же ряд прошедших состояний мира заявлен не как приближение, а как состоявшееся прохождение. Каждое из бесконечных состояний должно было реально протечь, член за членом, в том единственном порядке, в каком течёт время, и никакая предельная операция протекания не заменяет. Площадь круга дана без прохождения, прошедшая вечность обязана быть именно пройденной. Оси разные, пример антиномию не разбивает.
Дальше, однако, собеседник сделал уступку, ради которой этот спор стоит рассказывать. Отбив пример, он признал рану. Кант формулирует невозможность данного бесконечного так, будто последовательный синтез есть единственный способ данности вообще, и нигде не обосновывает эту единственность. Между тем анализ его собственного столетия, Эйлер прежде всех, суммировал бесконечные ряды как рутинную операцию, то есть наука кантовской эпохи уже владела вторым способом данности бесконечного. Честный аргумент обязан был назвать оба способа и показать, почему предельный неприменим к ряду событий. Кант второго способа просто не рассматривает. Довод остаётся стоять, но стоит он на понятии данности, которое было узким уже для математики его времени, и в наш реестр это занесено как кандидат в швы системы.
Исход фиксирую честно. Антиномию мой пример не разбил, развод по осям я принял целиком, завершённость ряда величин и завершённость ряда событий действительно разные завершённости. Собеседник принял встречное. Сила первой антиномии меньше заявленной, поскольку опирается на непроверенную единственность пошаговой данности, и рана эта нанесена не мной, а Эйлером, работавшим при жизни Канта.
Всякий философский довод от невозможности помыслить обязан сверяться с наличным состоянием науки о мыслимом. Кант вёл спор о бесконечном средствами математики семнадцатого века при живой математике восемнадцатого, и цена этой задержки составила половину убедительности его лучшей главы. Философ отвечает за математику своих аргументов так же, как за их логику. Незнание инструмента, уже лежащего на общем столе, не освобождает от счёта.
3 минуты
26 октября