122 подписчика

Красивое доказательство бесконечности простых чисел

Известный результат о числах Фибоначчи утверждает, что:

НОД(Fm, Fn) = Fнод(m, n),

что означает, что наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи с индексами m и n равен g-му числу Фибоначчи, где g — это НОД индексов m и n

М. Вундерлих применил это свойство для короткого и элегантного доказательства бесконечности простых чисел

Предположим, что простых чисел всего k, и возьмем числа Фибоначчи с простыми номерами: Fp1, Fp2, ..., Fpk

Согласно теореме выше, каждое из этих чисел попарно взаимно простое, то есть их общий делитель — F1 = 1

Теперь, каждое число Фибоначчи в этом наборе должно иметь один простой множитель

Почему так?

Потому что мы допустили существование только k простых чисел, и ни одно из этих чисел Фибоначчи не может делиться на один и тот же простой множитель

Однако F19 = 4181 = 37 * 113, что приводит нас к противоречию

Следовательно, простых чисел бесконечно много

P.S. Нахождение числа Фибоначчи с двумя простыми множителями нас не устраивает

Но F_37 = 24157817 = 73*149*2221 имеет три множителя, и это действительно противоречие

Около минуты

26 сентября 2024