101 подписчик
Что делать, если хочется различать узлы?
Одна естественная идея — попробовать посчитать фундаментальную группу дополнения
Получить ее задание образующими и соотношениями не очень сложно — но не очень понятно, что делать дальше (сравнение групп, заданных образующими и соотношениями — вообще говоря алгоритмически неразрешимая задача!)
Вот, например, для трилистника получается группа <a,b|a²=b³> и… что?
Чтобы упростить себе жизнь, можно попробовать перейти от группы к ее абелинизации (дополнительно сказать, что все образующие коммутируют)
Но тут ждет сюрприз — какой бы узел мы ни взяли, всегда получается тот же ответ, что для тривиального, Z
Это как раз проявление упоминавшейся двойственности Александера
Для трилистника вместо гомоморфизма в абелевы группы нетрудно построить сюръективный гомоморфизм в группу S_3 и так доказать его нетривиальность
И это, на самом деле, то же доказательство, что и с подсчетом правильных раскрасок (диаграммы) узла в три цвета — см., например, https://t.me/cme_channel/1919
Около минуты
22 июля 2024