Найти в Дзене
197 подписчиков

В ответ на пост

Из теоремы Дена несложно вывести, что квадрат нельзя разрезать на прямоугольники с отношением сторон √2

Действительно, если все они лежат горизонтально, просто сожмем картинку в √2 раз — получится протеворечие с Деном
А если есть и вертикальные прямоугольники?
Ну просто разрежем каждый из них пополам, останутся только горизонтальные прямоугольники (с правильным отношением сторон!)

Но поучительно и адаптировать доказательство выше
Идея: снова будем рассматривать “площадь” h(a)h(b), а функцию h подберем так, чтобы h(a√2) и h(a) имели разные знаки
Тогда “площадь” квадрата будет положительна, а “площадь” каждого из прямоугольников разрезания — отрицательна

Такую функцию можно построить руками, а можно упаковать конструкцию вот как

У поля Q(√2) есть автоморфизм — сопряжение s:x+y√2→x-y√2
Выберем базис у Q(√2)-векторного пространства R (или снова можно ограничиться конечномерным подпространством, порожденным длинами сторон прямугольников) и пусть h действует как сопряжение s на каждом коэффициенте
Тогда h(a√2)=h(a)s(√2)=-h(a)√2 и все получилось

Заодно теперь ясно, что квадрат нельзя разрезать на прямоугольники с отношением сторон, например, 1+√2 (потому что s(1+√2)=1-√2<0)
И вообще, если у числа x есть Галуа-сопряженное с отрицательной вещественной частью, то проходит то же рассуждение

Теорема (M.Laczkovich & G.Szekeres / C.Freiling & D.Rinne, 1994)
Квадрат можно разрезать на прямоугольники с отношением сторон x <=> x алгебраическое число и все его сопряженные имеют положительную вещественную часть
1 минута