111 подписчиков
В ролике «Благо Платона и алгоритм Калкина-Уилфа» есть два связанных сюжета
Один касается пифагорейского алгоритма выведения всех числовых отношений из отношения равенства
Второй — лекции Платона O благе
Платон, уже будучи в возрасте, собрал своих учеников, чтобы прочитать лекцию на животрепещущую тему о том, что такое благо
Свидетельства непосредственных участников лекции до нас не дошли
«Вот что, по словам Аристотеля, испытали многие, слышавшие лекцию Платона О благе: все они пришли узнать о том, что у людей называется благом, — о богатстве, здоровье, силе, вообще о каком-нибудь необычайном счастье
Но это оказались речи о математических науках и числах, о геометрии и астрономии, и наконец о том, что благо есть единое
И речи эти показались им парадоксальными, поэтому одни отнеслись к этому с пренебрежением, другие поносили его»
Но что именно было в этой загадочной лекции и о каком математическом содержании идёт речь?
В одном из текстов Александр Афродисийский сообщает, что Платон на своей лекции говорил, что началами всего являются единое (или единица) и неопределенная двойка (или беспредельное раздвоение) и что эти-то начала и порождают многое и малое, избыток и недостаток
Но были ли это спекуляции общего характера или за размышлениями стояла содержательная математика?
Существует кандидат на роль математического основания Платоновской лекции — это алгоритм выведения всех числовых отношений из отношения равенства, восходящий к Пифагору и описанный позднее Никомахом
Если описывать этот алгоритм привычным языком, то звучать он будет так: «возьми отношение двух чисел a:b и построй два новых отношения по вот такому правилу: a:(a+b) и (a+b):b»
Если взять отношение равенства 1:1 и начать последовательно применять алгоритм, то получится целое дерево отношений, число которых будет удваиваться с каждым шагом, — и это созвучно словам Платона, что началами всего являются единица и беспредельное раздвоение
Но главное наблюдение заключается в том, что применительно к описанному алгоритму и возникающему дереву отношений верно утверждение: «любое отношение, представленное двумя взаимно простыми числами, стоит на каком-то месте в этом дереве, причем ровно на одном месте»
То есть пифагорейцы сделали большое дело: построили структуру, охватившую все рациональные отношения, какими бы большими и даже невообразимо гигантскими натуральными числами эти отношения не представлялись
В современной математике такое дерево называют деревом Калкина-Уилфа
По именам двух математиков, переоткрывших его совсем недавно — в 2000 году
С математикой разобрались
Теперь давайте попробуем разобраться, зачем Платону нужна была такая математика и почему он назвал свою лекцию О благе
Для этого приведем фрагмент из Введения в арифметику Никомаха, который, быть может, восходит к самому Платону
Когда Никомах описывает алгоритм разворачивния всех отношений, он предваряет это такими словами:
«И этот стройный и необходимый
путь к познанию природы целого ясным и недвусмысленным образом показывает нам, что прекрасное, определённое и познаваемое первично по своей природе в сравнении с неопределённым, неограниченным и безобразным; и далее, что части и виды неограниченного и неопределённого приобретают благодаря первому свою форму и границы и находят подобающий им порядок и расположение, и делаются доступными измерению, и приобретают некоторое подобие и одноимённость
Ведь понятно, что разумная часть души приводит в порядок неразумную часть, её порывы и влечения, связанные с двумя видами неравенства, и посредством размышления подводит её к равенству и тождеству
А для нас из этого уравнивания прямо вытекают так называемые этические добродетели, каковые суть благоразумие, мужество, мягкость, самообладание, выдержка и подобные им качества»
3 минуты
7 апреля 2024