113 подписчиков
Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить по лучу так, чтобы никакие два луча не пересекались, а при этом среди прямых, содержащих эти лучи, не было параллельных (в т.ч. совпадающих)?
// такая задача П.Кожевникова с устного тура Турнира городов, остальные — https://turgor.ru/oralround/45/vs-45-ustn-avt.pdf
Еще задача с Турнира городов (Б. Бутырин): можно ли представить многочлен x(x-1)…(x-n) в виде суммы двух кубов (многочленов с вещественными коэффициентами)?
Бонусный вопрос: а в виде суммы трех кубов можно?
Для вещественных чисел a³+b³=0 <=> a+b=0
Поэтому если x(x-1)…(x-n)=P³+Q³, то у P+Q есть корни 0,1,…,n, т.е. он делится на x(x-1)…(x-n)
То есть если такие многочлены нашлись, то P²-PQ+Q² — это константа
Но если у P и Q коэффициенты при x^k равны a и b, а членов более высокой степени нет, то у P²-PQ+Q² коэффициент при x^{2k} равен a²-ab+b² — т.е. P²-PQ+Q² может быть константой только если P и Q константы, противоречие
Может показаться, что последний абзац можно и не читать, ну любому же ясно, что «если P, Q, P+Q многочлены степени n, то у P³+Q³ степень равна 3n», но…
Формулы сокращенного умножения учат нас, что (x+1)³+(x-1)³=2x³+6x
Другими словами, 6x=(x+1)³-2x³+(x-1)³, то есть многочлен x представляется в виде суммы кубов трех многочленов с вещественными коэффициентами
Ну значит, в виде суммы трех кубов представляется вообще любой многочлен (подставим его вместо x)!
Забавно, что степень правой части на первый взгляд втрое больше чем степень левой — но все лишние члены волшебным образом сокращаются
Бонусная задача: доказать, что для многочленов с целыми коэффициентами трех кубов уже не хватит
Достаточно ли трех кубов для многочленов с рациональными коэффициентами — открытая проблема (контрольный вопрос: почему четырех кубов уж всяко хватит?)
1 минута
2 апреля 2024