84 подписчика
В ответ на пост
Насколько глубокие знания современных физики и математики необходимы для понимания обсуждаемых проблем?
Воспользуемся следующей классификацией уровней сложности задач:
• первый уровень сложности — школьная программа
• второй уровень — то, что изучают на первых курсах физических факультетов университетов
• третий уровень — выпускники университета
• четвертый уровень — аспирантура
• пятый уровень — ученая степень по физике
• шестой уровень — передний край исследований; если вы работаете на этом уровне — вы входите в число нескольких сотен человек на Земле, влияющих на то, какой будет наша цивилизация через несколько десятков лет
• седьмого и выше уровней сложности — наука будущего
Начнем наше изложение со второго уровня
Лагранжиан (уровни 2 и 3)
Одним из базовых понятий в теории поля, в том числе — квантовой теории поля, является функция Лагранжа L(φi) — функция, описывающая развитие системы в обобщенных координатах (то есть к пространственным координатам и времени добавляются внутренние степени свободы, колебания и вращения, электрические и другие параметры)
В современной физике также работают не с самой функцией Лагранжа, а с ее плотностю, которую именуют лагранжианом
С функцией Лагранжа связан принцип наименьшего действия S:
где φi — обобщенные координаты (например, координаты частиц), s — множество параметров системы, физическая величина S, называемая действием, связана с функцией Лагранжа через интеграл:
Действие является мерой движения системы, а принцип наименьшего действия демонстрирует, что природа ленива по своей сути и не допускает лишних движений.
Если мы знаем функцию Лагранжа для системы (а для описания полей удобнее использовать лагранжиан поля как плотность функции Лагранжа), то мы имеем полное описание такой физической системы и законов, описывающих его.
В классической механике функцию Лагранжа обычно определяют в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.
где x — вектор, определяющий координаты частицы массы m, а V — потенциальная энергия поля в точке, определяемой вектором x.
Подставляем функцию Лагранжа в уравнение для действия, находим экстремум функционала, используя аппарат вариационного исчисления (применение которого аналогично применению дифференцирования) и получаем второй закон Ньютона:
где ∇V — градиент потенциала поля, вектор, показывающий направление наибольшего изменения поля.
В квантовой теории поля лагранжиан описывается в фазовом пространстве аналогично с введением переменных, описывающих квантовомеханические процессы — заряды, спины, плотность вероятности и другие величины
Мы незаметно подошли к третьему уровню сложности
Отметим, что инвариантность лагранжиана для систем, обладающих функционалом действия, по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований приводит по теореме Нётер к следующим соответствиям:
• однородности времени соответствует закон сохранения энергии
• однородности пространства — закон сохранения импульса
• изотропии пространства — закон сохранения момента импульса
• за закон сохранения электрического заряда отвечает калибровочная симметрия, и так далее
Как видим, в природе царят гармония и простота
2 минуты
1 декабря 2023