120 подписчиков
Теоремы Геделя любят даже гуманитарии, ведь речь идёт о границах их познания и как бы о бесполезности этого процесса — чего ни придумай, все равно нужны аксиомы
А есть ли пример утверждения, которое не выведешь из привычных аксиом арифметики?
Есть — теорема Гудстейна, с неочевидной формулировкой
Функция Гудстейна, кажется, обязана всегда расти, причем сумасшедшими темпами, однако оказывается, что это не бесконечный процесс
Рано или поздно она примет значение нуль
Теорема хоть и верна, она недоказуема (очень по женски)
Доказать её — все равно что доказать непротиворечивость арифметики Пеано, но в рамках самой арифметики Пеано это невозможно
Доказать можно в рамках арифметики второго порядка
Ограничимся спекулятивным рассуждением, которое просто принципиально помогает понять, почему утверждение теоремы Гудстейна верно
Дело в том, что та самая единичка, которая отнимается от всей конструкции, иногда вносит в неё "переполох" — количество слагаемых вырастает, но степени не во всех из них так уж велики
И основание степени уже не всегда удается увеличить
Ну а потом рано или поздно уменьшается количество самих слагаемых, и когда-нибудь возникнет ситуация, что слагаемое вообще одно и тогда уже вы спокойно можете доотнимать от него свою единичку до самого нуля
Как это работает на малых числах, можно посмотреть в Wikipedia
Но на всякий случай ещё раз повторяю — это не доказательство
1 минута
15 июня 2023