Задачи на движение — это классика школьной математики. Они есть в 4 классе, и в 5, и в 6, и в 7, и в 9 (на ОГЭ). У них одна формула:
S = v × t
Но сюжетов — десятки. Сегодня разберем все основные типы:
- встречное движение
- движение в противоположных направлениях
- движение вдогонку
- движение по реке
- средняя скорость
- движение протяженных тел (поезда)
Без воды — только алгоритмы и разбор. Поехали! 🚀
Часть 1. Главная формула (основа основ) 📐
S = v × t
v = S ÷ t
t = S ÷ v
S - путь (расстояние) км, м, см
v - скорость км/ч, м/с
t - время ч, мин, с
Запоминалка:
«Чтобы найти расстояние — умножай скорость на время»
«Чтобы найти скорость — дели расстояние на время»
Часть 2. Движение навстречу друг другу (сближение) 👥
Два объекта движутся навстречу. Их скорости складываются — это скорость сближения.
Формула:
v сближения = v₁ + v₂
Задача 1:
Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоцикл. Скорость автомобиля 65 км/ч, скорость мотоцикла 45 км/ч. Чему равно расстояние между городами, если они встретились через 4 часа?
Решение:
Шаг 1. Находим скорость сближения:
65 + 45 = 110 (км/ч)
Шаг 2. Находим расстояние:
110 × 4 = 440 (км)
Ответ: 440 км.
📌 Главное правило: при движении навстречу скорости СКЛАДЫВАЕМ.
Задача для тренировки:
Из двух сёл одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и пешеход. Скорость велосипедиста 18 км/ч, пешехода — 6 км/ч. Расстояние между сёлами 48 км. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
- Скорость сближения: 18 + 6 = 24 (км/ч)
- Время: 48 ÷ 24 = 2 (ч)
Ответ: 2 часа.
Часть 3. Движение в противоположных направлениях (удаление) 🚶♂️🚶♀️
Два объекта движутся в разные стороны. Их скорости складываются — это скорость удаления.
Формула:
v удаления = v₁ + v₂
Задача 2:
Из деревни вышли одновременно в противоположных направлениях два грибника. Скорость одного 4 км/ч, скорость другого 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?
Решение:
Шаг 1. Скорость удаления: 4 + 5 = 9 (км/ч)
Шаг 2. Расстояние через 4 часа: 9 × 4 = 36 (км)
Ответ: 36 км.
📌 Главное правило: при движении в разные стороны скорости СКЛАДЫВАЕМ.
Часть 4. Движение вдогонку (один догоняет другого) 🏃♂️🏃
Объекты движутся в одном направлении, но с разной скоростью. Тот, кто позади, догоняет того, кто впереди. Их скорости вычитаются — это скорость сближения вдогонку.
Формула:
v сближения = v₁ − v₂ (где v₁ > v₂)
Задача 3:
Два мотоциклиста выехали одновременно в одном направлении из двух городов. Через 5 часов первый догнал второго. Чему равно расстояние между городами, если скорости мотоциклистов 95 км/ч и 80 км/ч?
Решение:
Шаг 1. Скорость сближения: 95 − 80 = 15 (км/ч)
Шаг 2. Расстояние между городами: 15 × 5 = 75 (км)
Ответ: 75 км.
📌 Главное правило: при движении вдогонку скорости ВЫЧИТАЕМ.
Задача для тренировки:
Из одного города в одном направлении выехали две машины. Скорость первой 90 км/ч, второй — 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?
Решение:
- Скорость удаления (они едут в одном направлении, но с разной скоростью): 90 − 70 = 20 (км/ч)
- Расстояние: 20 × 4 = 80 (км)
Ответ: 80 км.
Часть 5. Движение по реке (течение помогает и мешает) 🌊
У любого объекта есть собственная скорость (в стоячей воде). Когда он плывет по течению — скорость увеличивается на скорость течения. Когда против течения — уменьшается.
Формулы:
Задача 4:
Расстояние между двумя пристанями лодка проходит по течению за 3 часа, а против течения — за 4 часа. За сколько часов это расстояние преодолеет плот?
Решение:
Шаг 1. За 1 час по течению лодка проходит 1/3 часть пути, против течения — 1/4 часть пути.
Шаг 2. Разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения реки:
Шаг 3. Плот движется со скоростью течения. За 1 час он проходит 1/12 часть пути. Значит, весь путь он пройдет за 12 часов.
Ответ: 12 часов.
📌 Главное правило: если течение помогает — скорость больше, если мешает — меньше.
Задача для тренировки:
Моторная лодка прошла 48 км по течению реки за 3 часа, а против течения — за 6 часов. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения.
Решение:
- Скорость по течению: 48 ÷ 3 = 16 (км/ч)
- Скорость против течения: 48 ÷ 6 = 8 (км/ч)
- Собственная скорость: (16 + 8) ÷ 2 = 12 (км/ч)
- Скорость течения: (16 − 8) ÷ 2 = 4 (км/ч)
Ответ: 12 км/ч (лодка), 4 км/ч (течение).
Часть 6. Средняя скорость (весь путь ÷ всё время) 📊
Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей! Это весь путь, деленный на всё время.
Формула:
v средняя = S общий ÷ t общее
Задача 5:
Из пункта А в пункт Б автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч в течение 2 часов. Обратно он двигался со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.
Решение:
Шаг 1. Путь от А до Б: 50 × 2 = 100 (км)
Шаг 2. Время от Б до А: 100 ÷ 75 = 4/3 (ч)
Шаг 3. Весь путь: 100 + 100 = 200 (км)
Шаг 4. Всё время: 2 + 4334 = 10/3 (ч)
Шаг 5. Средняя скорость: 200 ÷ 10/3= 200 × 3/10 = 60 (км/ч)
Ответ: 60 км/ч.
📌 Главное правило: средняя скорость = весь путь ÷ всё время.
Часть 7. Движение протяженных тел (поезда) 🚂
Если поезд проезжает мимо человека, стоящего на платформе, то длина поезда равна пути, который он прошел за это время.
Задача 6:
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо пешехода, стоящего на платформе, за 20 секунд. Найдите длину поезда.
Решение:
Шаг 1. Переводим скорость в м/с:
54 км/ч = 54000 м/ч = 54000 ÷ 3600 = 15 (м/с)
Шаг 2. Длина поезда: 15 × 20 = 300 (м)
Ответ: 300 м.
📌 Главное правило: длина поезда = скорость × время (когда он проезжает мимо неподвижного объекта).
Часть 8. Движение по замкнутой трассе (круговое движение) 🔄
Два объекта стартуют одновременно. Один делает круг быстрее, другой — медленнее. Когда они встретятся?
Задача 8:
Два бегуна одновременно стартовали по круговой дорожке. Первый делает полный круг за 9 минут, а второй — за 12 минут. Через сколько минут они в следующий раз окажутся вместе на старте?
Решение:
Надо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12.
9 = 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
НОК = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
Ответ: 36 минут.
📌 Главное правило: время встречи на старте = НОК времени круга каждого участника.
Итог 📌
Все задачи на движение строятся вокруг одной формулы: S = v × t.
Типов всего несколько:
- Навстречу → скорости складываем.
- В разные стороны → скорости складываем.
- Вдогонку → скорости вычитаем.
- По реке → учитываем течение.
- Средняя скорость → весь путь ÷ всё время.
- Протяженные тела → длина = скорость × время.
- Замкнутая трасса → НОК.
Если запомнить эти типы и их правила — задачи на движение перестанут быть страшными. 😊
👇 Записывайтесь на летние онлайн занятия по математике для 1-9 класса. Индивидуально.👇
А у вашего ребенка были ошибки в задачах на движение? Какой тип дается сложнее всего? Делитесь в комментариях! 👇😊