Функция вида
называется квадратичной функцией.
Здесь x — независимая переменная, y — зависимая переменная, a, b, c — некоторые числа. Причём обязательно a ≠ 0.
Ещё говорят, что
a — старший коэффициент,
b — второй коэффициент,
c — свободный член.
Графиком функции является парабола. Она может располагаться в любой части координатной плоскости. Ветви у параболы могут быть направлены вверх, если коэффициент a > 0.
Или вниз, если коэффициент a < 0.
График функции имеет ось симметрии. Проходит эта ось через вершину параболы параллельно оси y.
Если старший коэффициент больше нуля, то функция обладает одними свойствами. Если же меньше, то другими. Для начала мы рассмотрим свойства функции, когда a> 0.
Область определения: x может принимать любые значения (-∞; +∞). Область значения: посмотрите внимательно на рисунок. Ниже вершины графика нет. То есть область значения будет от координат вершины вверх ( y"нулевое"; +∞).
"нулевое" к сожалению, форматирование на Дзен не позволяет в тексте ставить квадрат или нижний коэффициент.
Монотонность, то есть возрастание и убывание функции. Обратите внимание на график. До вершины функция убывает, мы скатываемся с горочки, а после вершины мы поднимаемся наверх, функция возрастает.
Непрерывность — функция непрерывна на всей области определения.
Следующее свойство — это нули функции. Количество нулей зависит от количества корней уравнения. У этого уравнения может быть как два корня, и тогда парабола двумя ветвями пересекает ось x. Может быть один корень, если вершина лежит на оси x, и может быть ни одного корня, если вся парабола находится над осью x.
Квадратичная функция ограничена снизу.
У неё есть экстремумы. В данном конкретном случае, когда a> 0, максимум не существует, при этом есть минимум, который равен y "нулевое", то есть координате вершины.
В том случае, если b = 0, функция является чётной, симметрична относительно оси y. Во всех остальных случаях она не является ни чётной, ни нечётной.
Последнее, что надо сказать про квадратичную функцию, что она выпуклая вниз.
Теперь рассмотрим свойства функции, если a< 0.
Некоторые свойства изменятся, а что-то останется прежним.
Область определения не изменится.
Область значения изменится. Так как ветви направлены вниз, то у нас есть верхняя точка выше которой графика функции нет, зато вниз график продолжается бесконечно: (y"нулевое"; +∞)
Изменилась монотонность. Поменялись местами промежутки возрастания и убывания. Теперь у нас сначала функция возрастает до вершины, то есть она поднимается наверх , а затем функция убывает, мы скатываемся с горочки.
По-прежнему функция непрерывна на всей области определения.
Совершенно не изменились нули функции, они по-прежнему зависят от количества корней уравнения: может быть два корня — две точки пересечения с осью x;может быть один, если вершина лежит на оси xи ни одного, если вершина оказалась ниже оси x.
Когда a < 0 функция становится ограничена сверху.
Поменялись у нас точки экстремума. В данном случае у нас нет точки минимума, зато появилась точка максимум, которая равна координатам вершины.
Не изменилась чётность / нечётность. Чётная в единственном случае, когда b = 0. Во всех остальных случаях функция не является ни чётной, ни нечётной.
Выпуклость функции изменится, теперь будет выпуклая вверх.
Последнее, о чём осталось сказать — как найти координаты вершины.
Можно по формулам на рисунке выше.
Можно запомнить только формулу для x, а значение "y" посчитать, подставив значение x нулевое в уравнение функции, которое написано в самом верху.
На этом все.
Подписывайтесь на канал
Ставьте лайки
Сначала на канале появляются видеоролики с каждой темой, только потом статьи. В статьях я использую в качестве иллюстраций фото из видео. В роликах есть анимация, на мой взгляд, она более информативна. Доступно видео с Премиум подпиской.