Простой вопрос, не так ли? А теперь давайте поговорим об этом в терминах науки и исключим подход в стиле как оно ещё вообще может быть.
В 1910 году потребовалось 362 страницы теории плотных множеств, чтобы доказать, что 1+1=2.
Стандартный способ доказательства основных арифметических понятий математиками — это аксиомы Пеано, сформулированные в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано. Эти аксиомы определяют натуральные числа с помощью функции «следующего числа», обозначаемой как S(n) , что просто означает «число, следующее непосредственно за n ».
Чтобы доказать, что 1+1=2, сначала сформулируем наши определения. Пусть 1 — преемник 0, то есть 1 = S(0) . Пусть 2 — преемник 1, то есть 2 = S(1) .
Далее мы определим, как работает сложение. Пеано определил сложение, используя два основных правила:
- Прибавление нуля к любому числу ничего не меняет: a + 0 = a
- Добавление следующего элемента эквивалентно взятию следующего элемента из суммы: a + S(b) = S(a + b)
После утверждения этих определений доказательство требует лишь простой подстановки:
- Начнём с уравнения: 1 + 1
- Замените вторую "1" её определением: 1 + S(0)
- Применим второе правило сложения: S(1 + 0)
- Примените первое правило сложения к содержимому скобок: S(1)
- Подставим наше определение числа 2: 2
Следовательно, 1 + 1 = 2. Это, скажем так, простой алгебраический способ. Но это не устраивает многих логиков.
В начала XX века Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед стремились доказать, что сама математика является безупречным продолжением чистой логики, полностью свободным от интуитивных предположений.
В своем монументальном труде «Principia Mathematica» они сознательно отказались принимать даже самые очевидные математические истины на веру.
Вместо того чтобы просто использовать аксиомы Пеано как готовый фундамент, они поставили перед собой куда более амбициозную цель — вывести всю математику исключительно из законов символической логики.
Для этого им пришлось буквально построить понятие числа с нуля. Они начали не с цифр, а с абстрактных объектов теории множеств. Например, число «1» было определено как класс всех множеств, содержащих ровно один элемент, число «2» — как класс всех множеств из двух элементов, и так далее. Даже такие привычные понятия, как «равенство», «сложение» или «следующее число», сначала требовали строгих логических определений.
Каждый шаг доказывался на основе предыдущих, без единого логического скачка. В результате авторам пришлось написать сотни страниц формальных символов, определений и теорем, прежде чем они смогли перейти к элементарной арифметике. Только после этого появилась возможность сформулировать и доказать утверждение, которое любой ребенок воспринимает как очевидное.
Лишь на 362-й странице второго тома, в теореме 54.43, наконец появляется знаменитое доказательство того, что 1 + 1 = 2. После столь грандиозной цепочки рассуждений авторы позволили себе характерную британскую иронию, снабдив результат лаконичной пометкой на полях: «Вышеприведенное утверждение иногда бывает полезным».
Конечно, смысл этой работы был вовсе не в том, что математики сомневались в результате сложения. Они прекрасно знали, что 1 + 1 = 2. Их задача состояла в другом. Нужно было показать, что даже самые фундаментальные истины арифметики можно вывести исключительно из небольшого набора логических принципов, не принимая сами числа как нечто само собой разумеющееся.
Это был один из самых амбициозных проектов в истории математики, оказавший огромное влияние на развитие математической логики, теории доказательств и современной информатики.
Не забывайте ставить лайки статье и подписываться! Это очень важно для развития проекта, а вы будете видеть ещё больше интересных статей в ленте! На канале есть премиум, где много интересного.