Когда мы начинаем готовиться ко второй части ОГЭ (задание №20), я всегда замечаю одну и ту же реакцию. Уравнения ребята еще как-то решают, системы — скрипя зубами, но решают. А вот когда дело доходит до неравенств, начинается лотерея: угадал знак — не угадал, вспомнил про закрашенную точку — забыл.
Сегодня мы разберем неравенство из актуального банка ФИПИ, которое выглядит как классический, простой пример на метод интервалов. Но внутри него спрятана "мина замедленного действия". Из-за одной-единственной забытой цифры проверяющие нещадно ставят за него 0 баллов.
Задача:
Решите неравенство:
(x² + 2x - 8)(x² - 9x + 14) ≥ 0
Шаг 1. Ищем корни и раскладываем на множители
Перед нами две квадратные скобки. Чтобы применить метод интервалов, нам нужно разложить каждую из них на простые множители. Для этого приравниваем выражения к нулю и ищем корни (через дискриминант или теорему Виета).
Первая скобка: x² + 2x - 8 = 0
Корни: x₁ = -4 и x₂ = 2
Вторая скобка: x² - 9x + 14 = 0
Корни: x₃ = 2 и x₄ = 7
Теперь переписываем наше изначальное неравенство в разложенном виде:
(x + 4)(x - 2)(x - 2)(x - 7) ≥ 0
Обратите внимание: скобка (x - 2) повторилась дважды! Значит, мы можем свернуть ее в квадрат:
(x + 4)(x - 2)²(x - 7) ≥ 0
Шаг 2. Метод интервалов и "правило квадрата"
Рисуем числовую ось x и отмечаем на ней наши корни: -4, 2 и 7.
Поскольку знак неравенства у нас нестрогий (≥, есть равно), все точки будут закрашенными (входят в ответ).
Теперь самое интересное — расстановка знаков. Берем огромное число (например, 100), подставляем в наше неравенство и понимаем, что крайний правый интервал будет с плюсом.
А дальше двигаемся влево:
- Переходим через точку 7: знак меняется на минус (-).
- Переходим через точку 2: ВНИМАНИЕ! Скобка (x - 2) стоит в квадрате. А квадрат всегда положительный. Это значит, что при переходе через эту точку знак неравенства не меняется. Был минус — минус и останется!
- Переходим через точку -4: знак снова чередуется на плюс (+).
Итоговая картинка знаков справа налево: плюс, минус, минус, плюс.
Шаг 3. Точка-невидимка, которая лишает баллов
Нам нужно найти те участки, где выражение больше или равно нулю (≥ 0). То есть мы ищем плюсы.
Типичный ученик радостно штрихует участки с плюсами и пишет в бланк:
x ∈ (-∞; -4] ∪ [7; +∞)
Эксперт ФИПИ смотрит на этот ответ, вздыхает и ставит 0 баллов. Почему?
Потому что ученик забыл про изолированную точку ее еще называют "петелька"!
Посмотрите внимательно на наше неравенство. Нам подходят не только те значения, где выражение строго больше нуля, но и те, где оно РАВНО нулю.
Если мы подставим вместо икса двойку (ту самую точку, где знак не поменялся), то скобка (x - 2)² превратится в ноль. И всё неравенство обнулится: 0 ≥ 0. Это верное утверждение! Значит, число 2 является полноценным решением неравенства.
Оно "оторвано" от плюсовых интервалов и стоит одиноко в окружении минусов. Чтобы добавить такую одинокую точку в ответ, в математике используют фигурные скобки.
Правильный ответ:
x ∈ (-∞; -4] ∪ {2} ∪ [7; +∞)
Мысли вслух: а не сделать ли нам интенсив?
Вот мы сейчас разобрали один пример, и вроде бы всё понятно. Но на занятиях я постоянно вижу, как ребята спотыкаются на таких мелочах в неравенствах: то скобку квадратную вместо круглой поставят, то забудут изолированную точку, то запутаются с ОДЗ в дробях.
Неравенства — это объективно самая коварная тема 8 и 9 классов, которая тянет вниз оценки за контрольные и забирает ценные баллы во второй части ОГЭ.
Знаете, о чем я сейчас подумал?
Слушайте, а может бахнуть мощный, концентрированный интенсив чисто по неравенствам? Взять самую суть (от базовых линейных до вот таких жестких ловушек с квадратами и дробями), раз и навсегда закрыть все страхи, научиться правильно рисовать эти оси и ставить фигурные скобки. Без воды, только хардкорная практика и мои лайфхаки по оформлению для экспертов.
Как вам такая идея? Было бы актуально для вас или ваших детей разобраться с этой темой раз и навсегда?
Обязательно напишите в комментариях к этому посту, стоит ли мне организовать такой формат. Если соберется достаточно желающих — я сяду за написание программы!