Разберём подробно решения и пояснения ко всем 7 подготовительным заданиям. Они построены так, чтобы плавно подвести вас к логике исходной олимпиадной задачи. Каждое решение сопровождается комментарием, почему это важно.
Задание 1
Сравните: 2³ и 2⁵, 2⁰ и 2¹, 2⁻² и 2⁻¹. Сформулируйте правило: если 2^a < 2^b, то что можно сказать об a и b?
Решение.
Вычислим:
- 2³ = 8, 2⁵ = 32 → 8 < 32, значит 2³ < 2⁵, при этом 3 < 5.
- 2⁰ = 1, 2¹ = 2 → 1 < 2, значит 2⁰ < 2¹, при этом 0 < 1.
- 2⁻² = 1/4, 2⁻¹ = 1/2 → 1/4 < 1/2, значит 2⁻² < 2⁻¹, при этом -2 < -1.
Правило:
Для функции 2t (возрастающей) из 2^a < 2^b всегда следует a<b. И наоборот, если a<b, то 2^a <2^b . Это ключевое свойство монотонности, которое мы используем, чтобы «снять» степени.
Задание 2
Решите неравенство для целого t: 2^t <2^10. Найдите все целые t, которые подходят.
Решение.
По правилу из задания 1: 2^t <2^10 равносильно t<10.
Целые числа, меньшие 10, это все t∈{…,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Множество бесконечно (в отрицательную сторону), но если бы мы ограничились, например, неотрицательными, то их было бы 10 (от 0 до 9). Здесь важно понять, что строгое неравенство даёт строгое условие на показатель.
Задание 3
Найдите все целые числа x, для которых x^2<16. Сколько их?
Решение.
Неравенство x^2<16 означает ∣x∣<4 (так как 16=4^2). Целые x: −3,−2,−1,0,1,2,3.
Всего 7 чисел. Обратите внимание: 4 и -4 не подходят, потому что 4^2=16, а неравенство строгое. Это учит внимательности к знаку «<».
Задание 4
Найдите все целые числа x, для которых x^2<100. Сколько их?
Решение.
x^2<100⇒∣x∣<10. Целые x: −9,−8,…,−1,0,1,…,8,9.
Всего: от -9 до 9 включительно — это 19 чисел (9 отрицательных, 0 и 9 положительных).
Этот подсчёт напрямую используется в исходной задаче.
Задание 5
Решите неравенство 2^(x^2)<2^(49) в целых числах x. Сколько решений?
Решение.
Используем монотонность: x^2<49. Тогда ∣x∣<7, значит
х: −6,−5,…,0,…,5,6.
Всего 6+1+6=13 решений. Здесь мы совмещаем два приёма: «снятие» показательной функции и поиск целых квадратов.
Задание 6
Пусть a ≥ 0 и b ≥ 0. Докажите, что если a + b < 100, то обязательно a < 100 и b < 100. Верно ли обратное?
Решение.
Доказательство:
Так как a ≥ 0, то a ≤ a + b < 100, значит a < 100. Аналогично b < 100.
Обратное утверждение: «если a < 100 и b < 100, то a + b < 100» — неверно.
Пример: a = 60, b = 60, оба меньше 100, но сумма 120 > 100.
Это задание учит нас, что из суммы меньше числа следует, что каждое слагаемое меньше этого числа, но не наоборот. Именно это мы применяем в исходной задаче, чтобы перейти от суммы к каждому слагаемому.
Задание 7
Решите неравенство 2^(x^2)+2^(y^2)<2^16 в целых числах. Сначала примените задание 6, затем задание 4. Сколько пар (x, y) получится?
Решение.
Применяем задание 6: так как оба слагаемых положительны (степени двойки), то из суммы меньшей 2¹⁶ следует, что каждое слагаемое меньше 2¹⁶.
То есть 2^(x^2)<2^16 и 2^(y^2)<2^16.
По монотонности: x^2<16 и y^2<16.
Из задания 4 (с заменой 100 на 16) знаем, что для каждого из x и y подходит 7 значений (от -3 до 3).
Общее количество пар: 7×7=49.
(Если бы мы ошибочно подумали, что из суммы меньше следует сумма квадратов меньше, мы бы получили неверный ответ. Здесь мы используем правильную логику.)
💡 Как эти задания готовят к исходной олимпиадной задаче?
- Задания 1–2 учат "снимать" степени, используя монотонность.
- Задания 3–4 тренируют подсчёт целых чисел при строгом неравенстве на квадрат.
- Задание 5 объединяет оба приёма.
- Задание 6 даёт важное логическое правило о сумме и слагаемых.
- Задание 7 — это точная копия исходной задачи, но с меньшими числами. После его решения исходная задача (с 100) решается аналогично, только вместо 7 значений будет 19, и ответ 19×19 = 361.
Все задания построены так, чтобы пошагово освоить каждый микро-шаг, а затем собрать их в целостное решение. Теперь вы готовы к любым подобным олимпиадным задачам! 🚀
Эти 7 заданий были подготовительные для олимпиадного задания
("13 элемент. АLхимия будущего") описанного в статье Задание, которое ломает шаблоны: 2x² + 2y² < 2¹⁰⁰ .