🔥 Задание, которое ломает шаблоны: 2^(x²) + 2^(y²) < 2¹⁰⁰

Перед вами неравенство с двумя переменными в показателе степени. Именно так выглядело одно из заданий Всероссийской олимпиады «13-й элемент. АLхимия будущего» Вариант 20230802 для 8 класса. Вы ещё не проходили показательные функции, а задачу уже нужно решить.

📌 Условие задачи

Дано неравенство:
2^(x²) + 2^(y²) < 2¹⁰⁰
Сколько пар (x, y) целых чисел удовлетворяют этому неравенству?

На первый взгляд — страшно. Степени, две переменные, огромное число 100... Но именно в этом и заключается олимпиадный подход: за громоздкой записью скрывается элегантное и короткое решение.

💡 Решение (пошагово)

Разберём задачу так, как её должен решать восьмиклассник — без «взрослых» методов.

Шаг 1. Оцениваем слагаемые

Неравенство строгое:

2^(x²) + 2^(y²) < 2¹⁰⁰

Оба слагаемых положительны. Если хотя бы одно из них больше либо равно 2¹⁰⁰, то вся сумма уже не может быть меньше 2¹⁰⁰. Значит, обязательно:

2^(x²) < 2¹⁰⁰ и 2^(y²) < 2¹⁰⁰

Шаг 2. Переходим от степеней к показателям

Мы знаем, что функция 2^t — возрастающая. Поэтому из 2^(x²)< 2¹⁰⁰ следует:

x² < 100

Аналогично:

y² < 100

Шаг 3. Находим возможные целые значения

x² < 100 означает, что x может быть:

0, ±1, ±2, ..., ±9

Всего 19 значений (одно для 0 и по два для каждого числа от 1 до 9).

То же самое для y — тоже 19 значений.

Шаг 4. Считаем пары

Каждое из 19 значений x можно комбинировать с каждым из 19 значений y. Значит, общее количество пар:

19 × 19 = 361

Ответ: 361 пара.

🧠 В чём суть олимпиадного подхода?

Вся задача решается в четыре логических шага. Никаких сложных преобразований — только:

• понимание, что если сумма меньше числа, то каждое слагаемое тоже меньше этого числа;
• знание, что 2^t возрастает;
• аккуратный подсчёт квадратов целых чисел.

Именно такие задачи и ценятся на олимпиадах: они не про выученные алгоритмы, а про самостоятельное рассуждение.

Хотите научиться решать такие задачи?

Предлагаю 7 подготовительных упражнений

Олимпиада «13-й элемент» — это не просто проверка знаний. Это возможность попробовать свои силы в нестандартных задачах и сделать первый шаг к карьере в науке и промышленности. А такие задания, как разобранное выше, учат главному: сложное часто оказывается простым, если знать, с какой стороны подойти.

#13элемент#математика#степени