Подзаголовок этого поста обращен в пику названию известной книги Г. Горелика “Почему пространство трехмерно? “ [1]. В качестве основных положений в анализе размерности пространства Горелик рассматривает теорию топологической размерности Урысона-Менгера и исследования Пауля Эренфеста 1917-20 гг. Однако, как отмечает Горелик в заключении своей книги, нет ни одного убедительного доказательства трехмерности пространства:
Вопрос о трехмерности пространства не имеет пока по существу ни одного “окончательного” решения. Нет пока физической теории, в которой факт 3+1-мерности объяснялся бы какими-то более глубоким фактами. Вместе с тем эта книга, как надеется её автор, даёт представление о той грандиозной роли, которую играет понятие размерности в физической картине мира. Именно из-за этой роли вопрос, вынесенный в заголовок этой книги и все ещё ждущий ответа, так важен и так загадочен. [1,с.154].
Есть ли какие-либо убедительные указания на существование высших измерений, например, четвёртого пространственного измерения? Существуют ли какие-либо экспериментальные факты, потребовавшие для своего объяснения введения четвёртого измерения? Во-первых, это так называемое “случайное” вырождение спектра атома водорода. Для объяснения этого вырождения Паули в 1926 г. к трём компонентам орбитального момента присоединил три компоненты вектора Лапласа-Рунге-Ленца (ЛРЛ-вектор). В классической задаче Кеплера ЛРЛ-вектор описывает прецессию эллиптической орбиты. Квантуя полученную систему орбитальный момент+ЛРЛ-вектор, Паули смог описать спектр водорода, включая случайное вырождение. Примечательно, что эта работа Паули [2] вышла раньше знаменитой статьи Шрёдингера [3] о спектре водорода, где спектр был получен на основе анализа волнового уравнения (уравнения Шрёдингера). Далее в начале 30-х гг. прошлого века Фок и Баргман в статьях с одинаковым названием [4,5] показали, что конструкция Паули приводит к группе SO(4), т. е. к группе вращений четырехмерного евклидова пространства R^4.
Следующим экспериментальным фактом, требующим для своего объяснения введения четвёртого измерения, является спин. И здесь мы снова встречаемся с Паули. Понятие спина (классически не описываемая двузначность) было введено Паули в статье [6] 1925 г. как ключевой момент при объяснении аномального эффекта Зеемана в спектрах щелочных металлов. Характерно, что понятие спина возникло из анализа спектроскопической проблемы, непосредственно связанной со структурой периодической системы химических элементов. Спин является четвёртым квантовым числом (наряду с n, l и m), без которого невозможно квантово-механическое описание структуры периодической системы. Именно порядковая структура, задаваемая четверкой квантовых чисел (n, l, m, s), а не линейным возрастанием атомного веса, определяет строение и геометрию периодической системы. Polygonflache Г. Генцеля [7] есть исторически первая модель такого рода, где структура периодической системы определяется порядком квантовых чисел, образующих системы концентрических многоугольников на плоскости. В. Финке в статье [8] представляет Polygonflache Генцеля в трёхмерном пространстве, свя- ¨
зав её с нумерацией Маделунга. С другой стороны, в подходе Румера–Фета–Барута структура «левосторонней» таблицы Жанэ связывается с квантовыми числами конформной группы SO(4, 2) и её тензорного расширения 𝐺_𝐹 [9,10]. Как известно, таблица Жанэ есть двумерное графическое представление правила Маделунга. Таким образом, посредством нумерации Маделунга имеется соответствие между моделью Генцеля-Финке и теоретико-групповым подходом Румера-Фета-Барута. Однако общим недостатком Polygonflache Генцеля и трёхмерной системы Финке является искусственное представление четвёртого квантового числа 𝑠 (спин) в виде двух точек на трансверсалях. В свою очередь, в теоретико-групповом подходе первые три квантовых числа 𝑛, 𝑙, 𝑚 соответствуют собственным значениям генераторов Картана, образующих максимальную абелеву подалгебру алгебры Ли so(4, 2) конформной группы. Алгебра so(4, 2) имеет третий ранг. Чтобы включить четвёртое квантовое число 𝑠 на равных основаниях с 𝑛, 𝑙, 𝑚, т. е. как собственное значение генератора Картана, требуется переход к алгебре Ли четвёртого ранга. В [11] показано, что такой алгеброй является so(4, 4) – алгебра Ли группы SO(4, 4). Соответствующий генератор спина L_78 коммутирует со всеми генераторами подалгебры so(4, 2), что приводит расщеплению («двуделению») базиса Картана-Вейля алгебры so(4, 4). Как следствие, четырёхмерная весовая диаграмма алгебры so(4, 4) может быть представлена двумя трёхмерными проекциями, каждая из которых изоморфна весовой диаграмме подалгебры so(4, 2) [11].
Обыденное сознание человека ограничено трехмерным восприятием, это та форма представления, о которой писал Кант, т. е. весь конгломерат перцепций, входящих в мозг и анализируемых им, ограничен тремя измерениями. Сознание человека не способно представить четыре взаимно перпендикулярные оси, т. е. четырехмерный мир находится за пределами формы восприятия. Однако отсюда не следует его (4d мира) отсутствие. Точно также зрение человека воспринимает довольно узкую полосу электромагнитного спектра, однако отсюда не следует отсутствие ультрафиолетовой и инфракрасной областей спектра. Мы подобны тем двумерным существам, о которых писал Эбботт в своей книге “Флатландия” в 1884 г. [12]. Флатландцы живут на плоскости, их форма восприятия двумерна, они не могут представить три взаимно перпендикулярные оси. Эбботт пишет, что флатландцы живут в двумерном мире только потому, что их форма представления двумерна, а на самом деле они живут в трехмерном мире, только не сознают этого. Здесь прямая аналогия с человечеством, живущим в трехмерном мире только потому, что оно не способно представить высшие измерения. Не мир ограничен, а сознание человека ограничено.
Эбботт задаётся вопросом, как же будут флатландцы воспринимать явления, связанные с третьим измерением. Например, если флатландец находится внутри замкнутой линии (окружности, квадрата и т. д.), то эта линия для него является непроходимой стеной, а область, ограниченная этой линией, становится для флатландца тюрьмой, за пределы которой он, находясь в двумерном мире, никогда не сможет выбраться. Однако, если бы сознание флатландца смогло бы подняться до восприятия третьего измерения, он, воспользовались этим дополнительным измерением, смог бы перепрыгнуть через замкнутую линию, т. е. “пройти сквозь стену”, что несомненно является “чудом” с позиции двумерного мира. Эббот отмечает, что все “трехмерные события” в двумерии имеют характер загадочных паранормальных явлений, а представление о трехмерном мире относится к области мистики и колдовства. Более того, все эти представления подвергаются осуждению и гонению со стороны правящей элиты Флатландии, состоящей из n-угольников и окружностей. Любопытно отметить, что уже в нашем трехмерном мире в эпоху расцвета оккультизма и мистики (конец 19-го века) четвертое измерение ассоциировалось с духами, спиритизмом и привидениями. Громкое дело профессора Цёлльнера, о котором я собираюсь написать отдельный пост, вызвало широкий резонанс в научных кругах того времени, а скандал, связанный с этим делом, имел крайне негативное влияние на все последующие представления о многомерии. Тем не менее, выдающийся геометр 20-го века Гарольд Коксетер в своей книге “Введение в геометрию” [13] в качестве эпиграфа к главе “Четырехмерная геометрия” приводит цитату, приписываемую Генри Мору:
Духи имеют четыре измерения [13,с.564].
Возвращаясь в наш грешный трехмерный мир, коснемся истории развития идеи о высших измерениях в математике и физике. После работ Грассмана, Кэли, Римана и Шлефли представление о многомерных пространствах прочно укрепилось в сознании математиков, став неотъемлемой частью всей математической науки. При этом важно отметить, что все измерения считаются равноправными, т. е. среди n координат n-мерного пространства нет какой-либо координаты выделенной или ограниченной какими-либо условиями. В отличие от математики, в физике идея многомерия, встретившись с рядом определённых трудностей и предубеждений, не была воспринята так легко и просто. В 1921 г. появляется статья Теодора Калуцы “К проблеме объединения физики” [14], где предлагается 5-мерное обобщение общей теории относительности Эйнштейна. Введение пятой координаты, соответствующей четвёртому пространственному измерению, дает возможность объединения уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла, что позволяет рассматривать гравитацию и электромагнетизм с единой точки зрения. При этом Калуца вводит так называемое условие цилиндричности по четвёртому пространственному измерению, т. е. переменные поля зависят от четырех координат x1, x2, x3, x4, но не от пятой x5. Ранее, в 1917 г. Эйнштейн в работе [15] вводил условие цилиндричности по координате, соответствующей временному измерению, с целью получить замкнутый статичный мир (цилиндрический мир Эйнштейна, гомеоморфный трехмерной гиперсфере). Пятимерная теория Калуцы встретила большое сопротивление со стороны физиков. Прежде всего, не был ясен физический смысл пятой координаты, а также почему четвертое пространственное измерение остаётся ненаблюдаемым. Далее в 1926 г. выходит статья Оскара Клейна [16], в которой он предложил объяснение ненаблюдаемости четвёртого пространственного измерения: оно, по мнению Клейна, свернуто в окружность до очень малых размеров (порядка 10^{-33}м).
Следующей знаковой статьёй явилась работа Эйнштейна и Бергмана 1938 г. “Обобщение теории электричества Калуцы” [17]. Эйнштейн и Бергман пишут:
Излагаемая здесь теория отличается от теории Калуцы в одном существенном пункте: мы приписываем пятому измерению физическую реальность, тогда как в теорию Калуцы пятое измерение вводится лишь с целью получить новые компоненты метрического тензора, описывающие электромагнитное поле' [17,c. 492]
и далее
Если попытка Калуцы и является реальным шагом вперед, то лишь ценой введения пятимерного пространства. Было много попыток удержать существенные формальные результаты, полученные Калуцей, не принося в жертву четырехмерный характер физического пространства. Это показывает, как сопротивляется наша интуиция введению пятого измерения. Но рассматривая и сравнивая все эти попытки, приходим к заключению, что все старания не исправили дела. Представляется невозможным формулировать идею Калуцы простым путем, не вводя пятого измерения. Поэтому мы вынуждены принять пятое измерение всерьез, хотя прямой опыт и не побуждает нас к этому' [17, c.498].
Клейн, Эйнштейн и Бергман предположили, что мир замкнут (свернут до микроскопических размеров) по пятой координате.
В теории струн рассматривается 10-мерное пространство, в котором 6 дополнительных (скрытых) измерений свернуты до размера планковской длины (10^{-35}м). Эти шесть свернутых измерений образуют многообразие Калаби-Яу, которое, в свою очередь, ассоциировано с каждой точкой четырехмерного пространства-времени Минковского. При этом количество возможных форм многообразий Калаби-Яу оценивается в диапазоне от 10^100 до 10^500, что приводит к проблеме так называемого ландшафта теории струн и нефальсифицируемости этой теории, т. е. невозможности её экспериментальной проверки.
Характерной чертой компактификации Клейна-Эйнштейна-Бергмана является выделенность дополнительных измерений и, соответственно, следующая из этого неравноправность этих измерений в сравнении с четырьмя пространственно-временными. Низведение до масштаба планковский длины буквально уничтожает физическую значимость этих измерений. Любопытно отметить, что самым курьезным моментом во всей этой истории является тот факт, что ненаблюдаемость высших измерений попытались “объяснить” их малыми размерами, что, якобы, и явилось причиной их невидимости для глаза и для регистрирующей аппаратуры.
Однако, прежде всего, дополнительное измерение - это дополнительная степень свободы, наблюдение (регистрация) которой, как правило, происходит косвенным путем, т. е. посредством наблюдения явлений, непосредственно не связанных с понятием геометрического измерения. Так, в отмеченных нами выше случаях, четвертое пространственное измерение появляется косвенным образом в виде причины, обусловливающей случайное вырождение в спектре атома водорода, а также порождающей двойственность (спин) в спектре щелочных металлов.
Вернёмся теперь к жителям Флатландии и попытаемся понять, каким образом они могли бы представить третье измерение. Допустим, что какой-либо ученый-флатландец пришёл к мысли о существовании третьего измерения, но в силу его ненаблюдаемости на плоскости был бы вынужден “компактифицировать” это измерение, чтобы “объяснить” его отсутствие. И тут наш плоский ученый муж выдвигает идею о том, что третье измерение есть “толщина” плоскости, причём исчезающе малых размеров, равной “флатландской планковский длине”. Таким образом, концепция третьего измерения успешно введена в научный обиход Флатландии, возникает теория скрытых размерностей. А теперь представим, смог бы флатландец, находясь в области, ограниченной замкнутой линией, пройти сквозь стену, воспользовавшись таким компактифицированным третьим измерением? Очевидно, что нет, поскольку в этом случае “высота” стены равнялось бы “толщине” плоскости и перепрыгнуть через линию флатландец не смог бы. Тем самым эффект введения третьего измерения в следствии такой “компактификации” нивелируется, сводится на ноль. Как следствие, из двумерного мира исчезли бы все паранормальные явления, что привело бы к полному торжеству научного взгляда над мистикой, оккультизмом и прочим мракобесием. Беда только в том, что мир третьей степени свободы (измерения) все также окружает плоский мир Флатландии вне зависимости от воззрений, находящихся в этой плоскости мыслителей.
Итак, высшие измерения - это дополнительные степени свободы, которые регистрируются в эксперименте косвенным путем через явления, непосредственно не связанные с геометрическим понятием размерности, но, в результате теоретического объяснения приводящие к представлению о многомерном пространстве, в котором все измерения равноправны, а не скручены в компактифицированные “обрубки” исчезающе малых (планковских) размеров. В таком многомерном мире все дополнительные измерения глобальны, а миры низших измерений являются гиперповерхностями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горелик Г.Е. Почему пространство трехмерно? М.: Наука, 1982.
2, Pauli W. “Uber das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik. Zeitschrift f¨ur Physik 36 (1926), pp. 336–363.
3. Schrodinger E. “Quantisierung als Eigenwertproblem”. Annalen der Physik
386.18 (1926), pp. 109–139.
4. Fock, V. “Zur Theorie des Wasserstoffatoms”. Zeitschrift f¨ur Physik 98.3 (1935), pp. 145–154.
5. Bargmann, V. “Zur Theorie des Wasserstoffatoms”. Zeitschrift f¨ur Physik 99.7
(1936), pp. 576–582.
6. Pauli W. Uber den Einfluss der Geschwindigkeitsabh ¨ angigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt // Z. Phys. 1925. V. 31. P. 373–385. Русский перевод: Паули В. Труды по квантовой теории. Т. 1. М. : Наука, 1975. С. 634–644.
7. Haenzel G. Die Polygonfläche und das Periodische System der Elemente // Zeitschrift f¨ur Physik. 1943. V. 120. P. 283–300.
8. Finke W. Bemerkungen zu G. Haenzel „Die Polygonfläche und das Periodische System der Elemente."// Zeitschrift f¨ur Physik. 1943. V. 121. P. 586–587.
9. Румер Ю.Б., Фет А.И. Группа Spin(4) и таблица Менделеева // Теоретическая и математическая физика. 1971. Т. 9. C. 203–209.
10. Фет А.И. Группа симметрии химических элементов. Новосибирск: Наука, 2010.
11 Varlamov V. V.: The Periodic Table and the Group SO(4,4). arXiv:2501.18272 [math-ph] (2025). https://arxiv.org/abs/2501.18272
12. Э. Эбботт, Флатландия. АСТ, 2023.
13. Коксетер Г. С. М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.
14. Kaluza T. Zum Unitätsproblem der Physik // Sitzungsberichte Preußische Akademie der Wissenschaften. — 1921. — С. 966—972.
15. Эйнштейн А. Вопросы космологии и общей теории относительности. // Собр. науч. тр. М.: Наука, 1965, Т. 1, с. 601-612.
16. Klein, Oskar (1926). Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895—906.
17. Эйнштейн А., Бергман П. Обобщение теории электричества Калуцы. // Собр. науч. тр. М.: Наука, 1966, Т.~2, с. 492-513.