Одним из самых удивительных открытий нелинейной динамики стало понимание того, что чрезвычайно сложное поведение может возникать из простейших математических правил. Достаточно задать закон, по которому состояние системы на каждом шаге определяется её состоянием на предыдущем шаге. Наиболее известным примером подобной системы является логистическое отображение, первоначально предложенное для описания роста популяций, эта невероятно простая модель демонстрирует режим динамического хаоса.
Уравнение выглядит следующим образом: x(n+1) = r*x(n)*(1 - x(n)).
Каждый следующий шаг x(n+1) определяется через предыдущий x(n) функцией с положительным слагаемым r*x(n) с первой степенью x(n) и с отрицательным слагаемым -r*x(n)*x(n) со второй степенью x(n).
Кроме этой самой известной формы логистического отображения существуют и другие, но общее в них то, что в правой части находится полином второй степени.
На первом фрагменте рисунка 1 проиллюстрированы состояния динамической системы из аттрактора, а на втором фрагменте построена зависимость показателя Ляпунова для наблюдаемого установившегося решения.
Хотя обычно рассматриваются только положительные значения параметра r, с математической точки зрения отображение можно исследовать и при отрицательных значениях параметра. При этом обнаруживается дополнительная последовательность бифуркаций, качественно напоминающая классический каскад удвоения периода для положительных r.
Графики на рисунке 1 показывают, что состояния динамической системы стремятся к устойчивому равновесию в диапазоне значений r от -1 до 3. При увеличении положительного значения параметра r при r = 3 происходит первая бифуркация каскада бифуркаций удвоения периода, ведущего к возникновению динамического хаоса. Аналогичным образом при уменьшении отрицательного значения параметра r при r = -1 также происходит первая бифуркация каскада бифуркаций удвоения периода, который также ведет к возникновению динамического хаоса.
Переход к хаосу точно подтверждается тем, что показатель Ляпунова становится положительным, как видно на фрагменте 2 рисунка 1.
Показатель Ляпунова обращается в ноль не только в точках удвоения периода, но и при r=1, где происходит потеря устойчивости одного из состояний равновесия. Сам по себе показатель Ляпунова не позволяет определить тип бифуркации, однако дополнительный анализ неподвижных точек показывает, что в данном случае реализуется транскритическая бифуркация.
Интересно, что зависимость показателя Ляпунова симметрична относительно значения r = 1 не только качественно, но и количественно (фрагмент 2 рисунка 1), но диаграмма состояний (фрагмент 1 рисунка 1) симметрична относительно r = 1 качественно, но заметно различается количественно.
Возвращаясь к транскритической бифуркации при r = 1, при которой происходит изменение устойчивости решений: при r < 1 каскад бифуркаций происходит для одного состояния равновесия, устойчивого при r в диапазоне значений r от -1 до 1, а при r > 1 каскад бифуркаций происходит для другого состояния равновесия, устойчивого в диапазоне значений r от 1 до 3.
Переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода известен как сценарий Фейгенбаума. В ходе исследования различных нелинейных систем было обнаружено удивительное свойство: расстояния между соседними бифуркационными значениями параметра уменьшаются не произвольным образом, а подчиняются универсальному закону. Дело в том, что отношение интервалов значений параметров между бифуркационными значениями n+1 и n и между бифуркационными значениями n+2 и n+1 стремится к одному и тому же числу с увеличением номера бифуркации n.
Удивительно, что это число оказывается одним и тем же для огромного класса нелинейных систем, несмотря на различия в их физической природе и математическом описании. Такое свойство называют универсальностью, а сама величина получила название константы Фейгенбаума. Совершенно разные системы демонстрируют одинаковое поведение на пути к хаосу.
Константа Фейгенбаума возникает потому, что вблизи границы хаоса бифуркационная диаграмма становится самоподобной. Каждая новая ступень каскада удвоения периода представляет собой уменьшенную копию предыдущей. Число Фейгенбаума показывает, во сколько раз изменяется масштаб по параметру при переходе от одной ступени каскада к следующей. Именно поэтому одно и то же число 4.6692016 появляется в самых разных нелинейных системах, демонстрирующих переход к хаосу через последовательность удвоений периода.
Диаграммы состояний на рисунке построены с последовательным увеличением масштаба в 4.6692016 раза. Несмотря на многократное увеличение, наблюдаемая картина качественно не меняется: на каждом новом уровне масштаба вновь возникает каскад бифуркаций удвоения периода, ведущий к хаосу. Такое самоподобие является характерным признаком фрактальных структур и объясняет появление константы Фейгенбаума в самых разных нелинейных системах.
Таким образом, константа Фейгенбаума характеризует не скорость приближения к хаосу и не свойства конкретной модели, а коэффициент масштабирования самоподобной структуры, возникающей в окрестности границы хаоса.
Такое простое логистическое отображение показывает, что динамический хаос не является противоположностью порядка. Напротив, он может возникать как естественное следствие простых и полностью детерминированных правил, многократно применяемых во времени. Источником этого удивительного многообразия режимов служит всего одно нелинейное слагаемое в уравнении. Именно нелинейность превращает простую математическую формулу в систему, способную демонстрировать равновесия, периодические режимы, каскады бифуркаций, самоподобие и хаос. Тем самым логистическое отображение наглядно показывает, насколько сложные явления могут скрываться за чрезвычайно простыми математическими законами.