Давайте я действительно раз и навсегда отвечу на этот вопрос, чтобы сомнения прекратились. Никакой связи между аккадским словом и нашим нет и быть не может.
Шаг первый: аккадский язык относится к семитским, а русский — к индоевропейским, то есть общего происхождения слов "царь" и 𒈗 \šarrum\ быть не может. Ну, к счастью, до такого обычно и не додумываются.
Шаг второй: обсудим вероятность заимствования. Здесь почему-то начинаются какие-то попытки доказать, что славяне могли вообще что-то заимствовать из аккадского, хотя и исторически, и географически у этих языков просто не было шансов пересечься (их разделяют как минимум тысяча лет и две тысячи километров). Если невозможность этого не очевидна, я умываю руки.
Шаг третий: допустим, ну вот чисто теоретически, что речь не об аккадском слове (мы уже знаем, что ни одно аккадское слово напрямую попасть к славянам не могло), а о каком-нибудь его родственнике. Ну, скажем, иврит, где есть слово שַׂר \sár\ ("правитель, управляющий"), родственное аккадскому. Хорошо, гебраизмы (заимствования из иврита) в русском языке присутствуют, в основном, благодаря Библии.
Однако они все или почти все пришли к нам через греческий (ведь религию мы взяли не напрямую от евреев, а из Византии). Но в греческий слово שַׂר \sár\ не попало, а значит и этот путь мы вычёркиваем.
Сделаем ещё одно допущение, что если всё-таки каким-то образом еврейское слово напрямую попало к славянам? Увы, такое допущение запретит нам сделать фонетика. Заимствуя слово, чей звуковой облик \sar\, мы бы и взяли его как "сар". У нас не было процессов, превращающих \s\ в нечто другое (да даже возьми мы вдруг \šar\, прости господи, это бы всё равно был \шар\).
Откуда в слове "царь" звук \ц\? Откуда \ц\, я спрашиваю?
А оттуда, что всё уже давно выяснено про слово "царь", и не нужно изобретать велосипед. Оно появилось у нас в XI веке, из Византии, то есть из греческого языка, ровно для того, чтобы называть правителей Византии.
В то время в ходу был греческий вариант Καίσαρ, готский 𐌺𐌰𐌹𐍃𐌰𐍂 \kaisar\, в конце концов, всегда актуальный латинский Caesar \kae̯.sar\. Откуда бы мы это не взяли, мы получили закономерный вариант "кесарь", и далее "цесарь", и вот как раз переход \к\ в \ц\ более чем естественен для нашего языка.
Ну а Иван Грозный в 1547 году принял этот титул уже как "царь", однако до самой революции царских наследников называли "цесаревичами", в память о полном варианте этого слова.
А что касается аккадского слова, которое многим не даёт спать спокойно: добро пожаловать в лингвистику, здесь бывает больно от таких совпадений, которые ничего не значат.
