Эта тема, незаслуженно почти забытая в математике школьной, весьма полезна для развития математической логики. Начнем с того, что дети лишь формально понимают эти понятия. Иначе бы они не затруднялись в отношении нуля к четным числам. Впрочем, по порядку.
Арифметика чёта и нечета
Сложение и вычитание:
• Четное + четное = четное; четное - четное = четное
• Четное + нечетное = нечетное; четное минус нечетное = нечетное; нечетное минус четное = нечетное
• Нечетное + нечетное = четное; нечетное минус нечетное = четное
Умножение и деление:
• Нечетное * нечетное – нечетное; нечетное деленное на нечетное = нечетное
• В остальных случаях произведение всегда четное, а про частное точно сказать нельзя.
Простенько? Ну да, ну да. Только в муда (пардон, в лучших) школьных учебниках об этом ни слова или полслова. Ну а теперь к задачам.
Задачи на чёт/нечет
Начнем с простейших. Хотя и они современных деток затрудняют часто.
Пример 1. Можно ли получить 30 как сумму трех нечетных чисел (числа могут повторяться)? Ответ: нет. Смотрим таблицу выше. Сложение двух нечетных чисел дает нам число четное, а его сумма с нечетным дает в итоге нечетное. В общем-то мы тут шутя вывели новое умозаключение: Н+Н+Н=Н, где Н - нечетные числа. Ну а 30 это число четное, поэтому имеем противоречие. И фсё.
Пример 2. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек? Ответ: 5.
Тут можно нарисовать круг и отметить на нем Катю. Очевидно, что рядом с ней будут 2 мальчика, далее с каждым этим мальчиком будут Катя и девочка, рядом с каждой девочкой будет два мальчика. Дорисуем и получим ответ.
Но на олимпиадах этот фокус может не пройти. Зададут найти число девочек, если мальчиков 2025! Придется порассуждать. Очевидно, что мальчики и девочки чередуются, поэтому всегда их число (без Кати) будет одинаковым.
Пример 3. Русские, армяне и евреи встали в хоровод. Известно, что русских ровно 25, армян ровно 30 и некоторое количество евреев. Рядом с каждым человеком стоит хотя бы по одному еврею. Докажите, что найдется человек, рядом с которым стоят два еврея.
Этот пример предлагаю решить самостоятельно. Ответ можно дать как обычно в комментариях.
Пример 4. На чудо-дереве растут 28 апельсинов и 19 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если снятые фрукты одинаковы, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве оказался только один фрукт. Какой именно?
Довольно быстро можно установить, что один банан остаться может. Вот в этом случае.Если снимать только по два апельсина или по два банана, то появляться будут только бананы. Поэтому последним останется банан.
Однако нужно рассмотреть и другой случай. Если снимать один апельсин и один банан, и таких пар можно составить 19, появятся ещё 19 апельсинов. И того на дереве будет снова 28 апельсинов. Это число четное и из него можно составить 14 пар из апельсинов, которые дадут 14 бананов. А составляя пары из двух бананов, мы будем получать только бананы. Ответ: банан.
Подобного рода задачи предлагаются не только на олимпиадах, но и на профильном ЕГЭ в "олимпиадном" задании 19. Вот пример из "РЕШУ ЕГЭ" № 506007
Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы.
а) В мешке находятся 1 желтый, 1 зеленый и 2 красных шара. Из мешка случайным образом вынимают 2 шара разного цвета и заменяют одним шаром третьего цвета. Этот процесс продолжают до тех пор, пока все оставшиеся шары в мешке не окажутся одного цвета (возможно, что при этом в мешке останется один шар) Какого цвета шары (или шар) могут остаться в мешке?
б) В мешке 3 желтых, 4 зеленых и 5 красных шаров. Какого цвета шары (или шар) могут остаться в мешке в конце после применения описанной в предыдущем пункте процедуры?
Ответы: а) красный б) зеленый. Решать можно перебором или через чёт.нечет. Посмотреть решения можно в первоисточнике: https://math-ege.sdamgia.ru
И в заключение еще пара задач для самостоятельной проработки:
У Васи было 11 плиток шоколада. Может ли Вася, поделив каждую плитку на 3, 5 или 7 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада? Ответ: нет.
На доске написано пять натуральных чисел с суммой 2020. Может ли их произведение оканчиваться на 2019? Ответ: нет.
Не благодарите. Впрочем, донаты никто не отменял.