📍 Условие задачи
15 января 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:
— 1 января каждого года долг увеличивается на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
— со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платеж;
— 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;
— 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года;
— к 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма всех выплат составляет 4,08 млн рублей.
Найдите первоначальную сумму кредита.
📌 Тип задачи
Это комбинированная экономическая задача (задание 16 ЕГЭ, профиль). В ней сочетаются:
▪️ Дифференцированная схема — в 2028, 2029, 2031 и 2032 годах долг уменьшается на одну и ту же фиксированную сумму.
▪️ Особое условие в 2030 году — после третьего платежа долг становится ровно на 50% меньше, чем годом ранее.
▪️ Проценты начисляются каждый год на остаток долга (1 января), платежи вносятся со 2 по 14 января.
Такие задачи учат не просто подставлять в формулы, а анализировать условие, вводить удобные переменные и последовательно выводить выплаты.
✍ Введём обозначения
- S — начальная сумма кредита (то, что нужно найти), в млн рублей
- x — сумма, на которую уменьшается долг 15 января в 2028, 2029, 2031, 2032 годах
- k = 1,12 — коэффициент повышения долга после начисления 12% (1 + 12/100 = 1,12)
📅 Долг на 15 января каждого года (подробно, по шагам)
15 января 2027 года
Долг равен сумме кредита: S
15 января 2028 года
Долг уменьшается на x по сравнению с 15 января 2027: S − x
15 января 2029 года
Долг уменьшается ещё на x по сравнению с 15 января 2028:
(S − x) − x = S − 2x
15 января 2030 года
По условию, долг становится на 50% меньше, чем 15 января 2029 года.
50% от (S − 2x) = 0,5 · (S − 2x)
Значит, долг = 0,5 · (S − 2x)
15 января 2031 года
Долг уменьшается на x по сравнению с 15 января 2030:
0,5 · (S − 2x) − x
15 января 2032 года
Долг снова уменьшается на x по сравнению с 15 января 2031:
[0,5 · (S − 2x) − x] − x = 0,5 · (S − 2x) − 2x
По условию, кредит полностью погашен, значит, этот долг = 0:
0,5 · (S − 2x) − 2x = 0
🔢 Из условия полного погашения
0,5 · (S − 2x) − 2x = 0
Умножаем на 2: S − 2x − 4x = 0
S = 6x → x = S/6
Таблица выплат (подробно)
Строка 1. Период: 15 января 2027 — 14 января 2028
- Долг на начало периода (15.01.2027) = S
- Долг после начисления процентов = Sk
- Выплата = Sk − 5S/6 = S(k − 5/6)
- Долг на конец периода (15.01.2028) = 5S/6
Строка 2. Период: 15 января 2028 — 14 января 2029
- Долг на начало периода (15.01.2028) = S − x = S − S/6 = 5S/6
- Долг после начисления процентов = (5S/6)·k
- Выплата = (S − S/6)·k − 2S/3 = (5S/6)·k − 2S/3
- Долг на конец периода (15.01.2029) = 2S/3
Строка 3. Период: 15 января 2029 — 14 января 2030
- Долг на начало периода (15.01.2029) = S − 2x = S − 2·(S/6) = 2S/3
- Долг после начисления процентов = (2S/3)·k
- Выплата = (2S/3)·k − S/3
- Долг на конец периода (15.01.2030) = S/3
Строка 4. Период: 15 января 2030 — 14 января 2031
- Долг на начало периода (15.01.2030) = 0,5·(S − 2x) = 0,5·(2S/3) = S/3
- Долг после начисления процентов = (S/3)·k
- Выплата = (S/3)·k − S/6
- Долг на конец периода (15.01.2031) = S/6
Строка 5. Период: 15 января 2031 — 14 января 2032
- Долг на начало периода (15.01.2031) = 0,5·(S − 2x) − x = S/3 − S/6 = S/6
- Долг после начисления процентов = (S/6)·k
- Выплата = (S/6)·k
- Долг на конец периода (15.01.2032) = 0
Общая сумма выплат
Складываем все выплаты:
S·k − 5S/6 + (5S/6)·k − 2S/3 + (2S/3)·k − S/3 + (S/3)·k − S/6 + (S/6)·k
Группируем слагаемые с k:
S·k + (5S/6)·k + (2S/3)·k + (S/3)·k + (S/6)·k =
= S·k·(1 + 5/6 + 2/3 + 1/3 + 1/6) = S·k·(1 + 1 + 1) = 3Sk
Группируем слагаемые без k:
−5S/6 − 2S/3 − S/3 − S/6 = −(S + S) = −2S
Итого: сумма выплат = 3Sk − 2S
Подставляем k = 1,12 и сумму выплат 4,08 млн руб.
3·S·1,12 − 2S = 4,08
3,36S − 2S = 4,08
1,36S = 4,08
S = 4,08 / 1,36 = 3
✅ Ответ: 3 млн рублей
📥 Сохраняй пост, чтобы не потерять решение.
#егэ2026 #задание16 #дальнийвосток #кредитныезадачи #профильнаяматематика #математикаегэ #репетиторпоматематике #экономическаязадача #комбинированнаясхема #дифференцированныеплатежи #проценты #кредит #егэпрофиль #подготовкакегэ #разборегэ #финансоваяматематика #егэ11класс #репетитор #онлайнрепетитор