{ x² + y² = 40, xy = –12 }

Видеоразбор

Задание

Решение

Перед нами симметричная система. Иксы и игреки входят в уравнения одинаково. Можно пытаться выразить одно через другое, но там будет квадратное уравнение с корнями… А можно поступить умнее — ввести новые переменные.

Вспоминаю формулы сокращённого умножения. Есть квадрат суммы (x+y)²=x²+2xy+y² и квадрат разности (x−y)²=x²−2xy+y². У меня есть x²+y²=40 и xy=−12.

Буду искать квадрат суммы и разности. Для этого нужно второе уравнение умножить на 2:

Теперь у меня есть:

Складываю первое уравнение и удвоенное второе:

Получаю:

А это же квадрат суммы (слева от равно):

Значит:

Теперь вычитаю удвоенное второе из первого:

Получаю:

В левой части квадрат разности:

Значит:

Итак, я получил:

Теперь нужно соединить каждое возможное значение суммы с каждым возможным значением разности. Получается 4 комбинации.

Комбинация 1: беру x+y=4 и x−y=8

Складываю уравнения: (x+y)+(x−y)=4+8 → 2x=12 → x=6

Подставляю x=6 в первое уравнение: 6+y=4 → y=−2

Получаю пару (6;−2).

Комбинация 2: беру x+y=4 и x−y=−8

Складываю: 2x=4+(−8)=−4 → x=−2

Подставляю: −2+y=4 → y=6

Получаю (−2;6).

Комбинация 3: беру x+y=−4 и x−y=8

Складываю: 2x=−4+8=4 → x=2

Подставляю: 2+y=−4 → y=−6

Получаю (2;−6).

Комбинация 4: беру x+y=−4 и x−y=−8

Складываю: 2x=−4+(−8)=−12 → x=−6

Подставляю: −6+y=−4 → y=2

Получаю (−6;2).

Ответ: (6;−2), (−2;6), (2;−6), (−6;2)

Таблица: как получаются 4 системы

Результат решения каждой системы (таблица с ответами)

Ну и графическое решение

Комментарий к рисунку (графическое решение)

Рисунок. Графическое решение системы

На рисунке изображены две кривые:

• Окружность x²+y²=40 с центром в начале координат и радиусом √40.
• Гипербола xy=−12, ветви которой расположены во II и IV четвертях (потому что произведение отрицательно).

Точки пересечения окружности и гиперболы — это и есть решения системы. Их ровно четыре, и они симметричны:

(6;−2), (−2;6), (2;−6), (−6;2)

Каждая точка является отражением другой относительно оси y=x или начала координат. Это хорошо видно на графике: все четыре точки лежат на окружности и одновременно на гиперболе.

Завершение

Вывод:

Симметричные системы вида

удобно решать через переход к (x+y)² и (x−y)². Этот метод позволяет свести исходную систему к набору линейных систем, которые решаются устно.

Количество решений обычно равно 4 (как в этом случае), но может быть 2, 1 или 0 в зависимости от знака b и соотношения между a и b.

Алгоритм в двух словах:

1. Выражаем x²+y² и 2xy.
2. Находим (x+y)² и (x−y)² сложением и вычитанием.
3. Извлекаем квадратные корни (с учётом знаков ±).
4. Составляем все возможные комбинации систем.
5. Решаем каждую линейную систему.
6. Записываем ответ.