Казалось бы, что такого в разложении числа на простые множители и зачем такие задачи в олимпиадах по математике? Однако следует признать, что здесь все не так просто. Посмотрим на примерах.
Основная теорема арифметики
Не все знают, что она основная, да и по-моему она и не основная вовсе. Но название прижилось. Речь вот об этом.
Любое натуральное число (кроме единицы) можно представить в виде произведения простых множителей, и притом единственным образом (с точностью до порядка сомножителей).
Грубо говоря, число 72 можно представить в виде произведения 2х2х2х3х3 и никак иначе. В обычной школьной математике эта теорема нужна чаще всего для поиска наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел. Например, для 72 и 54 (2х3х3х3) НОД будет 18. В олимпиадных задачах все несколько сложнее. Посмотрим.
Задачи, связанные с разложением на множители
Начнем с самых простых.
Задача 1. Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6. Все просто. Возьмем любое число. Пусть оно нечетное и не делится на 3 (например, 5). Тогда следующее число обязательно будет четным. Ну а среди трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Тогда произведение должно делиться и на 2, и на 3, а значит и делиться на 6, ч т.д.
Задача 2. На сколько нулей оканчивается число 100! ? Для тех, кто не в курсе, знак "!" означает факториал (произведение всех натуральных чисел от 1 до заданного числа; в нашем случае это число 100). Думаем и считаем.
Ноль получается в двух случаях: при умножении на 10 и при одновременном умножении на 2 и на 5. В 100! встречаются 9 раз числа с окончанием на 0 + само 100. Итого 11 нулей. Теперь заметим, что чисел, которые делятся на 2, в наборе от 1 до 100 больше, чем чисел, которые делятся на 5. Осталось посчитать: это все числа с окончанием на 5 (5, 15, 25, ...) и их 10, а также 3 числа (25, 50 и 75) дают по дополнительному нулю. Итого 13. Всего 11+13=24. Готово.
Существуют и текстовые задачи на эту тему. Вот пример с школьного этапа ВСОШ одного из последних лет.
Задача 3. В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715? Я предлагаю уважаемым читателям попробовать решить самим. Ответ можно дать в комментарии.
Уважаемым комментаторам
Канал молодой, а сам я старый. Не так много сил для полемики, но я буду пытаться отвечать на все разумные комментарии. Реплики же типа "сам дурак" меня не задевают. Таких существ я просто игнорирую. Давайте получать от общения либо пользу, либо удовольствие. Либо не общаться.