❗❗❗ Обратите внимание на эту задачу. Она ранее была только в демоверсии, а сейчас уже включена в банк заданий ФИПИ. Это означает, что она может встретиться вам на реальном экзамене. Ниже — подробный разбор с пояснением всех свойств и двумя способами решения.
📌 Условие
Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
🔍 Что такое касательная?
Касательная — это прямая, которая касается окружности ровно в одной точке. Эта точка называется точкой касания.
В этой точке она перпендикулярна радиусу, проведённому из центра окружности.
🔍 Что такое радиус?
Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
Все радиусы одной окружности равны между собой.
📌 Основные свойства касательных (те, что понадобятся в задаче):
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
➡ Если провести радиус в точку касания, угол между ним и касательной будет 90°. - Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.
➡ Если из одной точки вне окружности провести две касательные (к разным точкам окружности), то расстояния от этой точки до точек касания будут одинаковыми.
📝 Решим задачу двумя способами.
✍ Способ 1 (через равнобедренный треугольник AKB)
1. Обозначим точку пересечения касательных.
Пусть K — точка пересечения касательных AK и BK.
2. Свойство отрезков касательных.
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.
Точка K находится вне окружности. Из неё проведены две касательные: одна касается окружности в точке A, другая — в точке B.
По свойству касательных, проведённых из одной точки, длины отрезков от этой точки до точек касания равны.
Следовательно, AK = BK.
3. Рассмотрим треугольник AKB.
В треугольнике AKB стороны AK и BK равны. Значит, треугольник AKB — равнобедренный с основанием AB.
По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны:
∠KBA = ∠KAB.
4. Находим углы при основании.
Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
В треугольнике AKB угол при вершине K (∠AKB) нам известен — он равен 72° (по условию задачи).
Значит, сумма двух углов при основании равна:
∠KBA + ∠KAB = 180° − ∠AKB = 180° − 72° = 108°.
Так как ∠KAB = ∠KBA, то каждый из них равен половине этой суммы:
∠KBA = ∠KAB = 108°/2 = 54°.
Итак, ∠KBA = 54°.
5. Используем свойство касательной и радиуса.
Касательная в точке B перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Радиус OB проведён в точку B, значит, BK ⟂ OB.
Следовательно, ∠OBK = 90°.
6. Находим искомый угол ABO.
Посмотрим на угол OBK. Он состоит из двух углов: ∠ABO и ∠KBA.
Запишем:
∠OBK = ∠ABO + ∠KBA.
Подставляем известные значения:
90° = ∠ABO + 54°.
Отсюда:
∠ABO = 90° − 54° = 36°.
✅ ∠ABO — это и есть искомый угол.
Ответ: 36°.
✍ Способ 2 (через четырёхугольник OAKB)
1. Обозначим точку пересечения касательных.
Пусть K — точка пересечения касательных. Касательные проведены из точки K и касаются окружности в точках A и B. То есть AK и BK — касательные.
2. Используем свойство касательной и радиуса.
Вспомним свойство: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. «Перпендикулярна» значит, что угол между касательной и радиусом равен 90°.
Рассмотрим точку касания A.
В этой точке радиус OA и касательная AK пересекаются. По указанному свойству, OA ⟂ AK.
Следовательно, угол между OA и AK, то есть ∠OAK = 90°.
Аналогично для точки касания B.
Радиус OB и касательная BK пересекаются в точке B. По тому же свойству, OB ⟂ BK.
Значит, угол между OB и BK, то есть ∠OBK = 90°.
3. Рассмотрим четырёхугольник OAKB.
В этом четырёхугольнике:
∠OAK = 90°, ∠OBK = 90°, ∠AKB = 72°.
4. Находим угол AOB.
Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°.
Следовательно:
∠AOB = 360° − (90° + 90° + 72°) = 360° − 252° = 108°.
5. Рассмотрим треугольник AOB.
В треугольнике AOB стороны OA и OB равны (как радиусы одной окружности).
Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB.
6. Находим углы при основании AB.
В треугольнике AOB угол при вершине O равен 108° (∠AOB = 108°).
Сумма двух углов при основании:
∠ABO + ∠BAO = 180° − ∠AOB = 180° − 108° = 72°.
Так как треугольник равнобедренный, эти углы равны:
∠ABO = ∠BAO = 72°/2 = 36°.
✅ ∠ABO — это и есть искомый угол.
Ответ: 36°.
📌 Свойства, которые использовали
- Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
- Сумма углов треугольника = 180°.
- Сумма углов четырёхугольника = 360°.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Все радиусы одной окружности равны.
✅ Ответ: 36°
#ОГЭ2026 #огэматематика #задание16 #геометрия #касательные #окружность #подготовкакогэ #математикаогэ #репетиторпоматематике