Продолжим про тороид.
В первой части [1] мы разобрали кратенько кратко условия устойчивости тороидального вихря.
Напомню, по эфиродинамической теории (ЭД) предполагается, что большинство, так называемых элементарных частиц, это разного вида тороидальные вихри.
Едиственным достаточно стабильным тороидальным вихрем предполагается только частица, которую мы называем протоном и из которого формируется вещество, из которого состоят все материальные объекты нашего мира.
Остальные частицы - это короткоживущие, а чаще, крайне короткоживущие тороидальные вихри, практически сразу распадающиеся.
В этих статьях попытаюсь сделать прикидочные расчёты по этой единственной достаточно стабильной частице.
Итак.
Стабильность газового тороида (вихревого кольца) определяется динамическим равновесием между внутренними силами инерции и внешним давлением среды.
Вот математические и физические закономерности влияния указанных вами факторов:
1. Влияние давления внешней среды (Pext)
Внешнее давление выступает как сжимающая сила, удерживающая структуру от расширения.
- Условие стабильности: Для стационарного вихря необходимо, чтобы давление на границе раздела сред было непрерывным. Согласно уравнению Бернулли, внутри вихря давление ниже, чем снаружи.
- Эффект: Повышение внешнего давления «сжимает» сечение тороида (уменьшает радиус ядра a), что заставляет частицы в керне вращаться быстрее для сохранения момента импульса. Если внешнее давление слишком велико, вязкость газа быстро разрушит структуру из-за повышенного трения.
2. Зависимость внутреннего давления от скорости частиц (v"фита")
Это ключевой фактор, создающий «каркас» тороида. Внутри ядра действует центростремительное ускорение.
- Математическая связь: Распределение давления P(r) внутри ядра описывается радиальным уравнением импульсов:
Где v"фита" — тангенциальная скорость вращения частиц в керне.
- Механизм: Чем выше скорость вращения частиц вокруг оси кольца, тем глубже «потенциальная яма» (ниже давление в центре ядра). Это низкое давление буквально «всасывает» окружающий газ внутрь, не давая вихрю распасться. Если скорость падает (из-за трения), давление внутри растет, и вихрь расширяется, теряя стабильность.
3. Разница между диаметром кольца (D) и диаметром сечения (d)
Этот геометрический фактор описывается безразмерным параметром аспектного отношения a = d/D (или e = a/R).
- Тонкие тороиды (d << D):
- Обладают высокой скоростью самодвижения.
- Риск: Подвержены неустойчивости Виднэлла. При движении на поверхности возникают изгибные колебания. Математически доказано, что если длина окружности кольца кратна определенным модам колебаний ядра, тороид искривляется в «змейку» и распадается. - Толстые тороиды (d прибл.= D):
- Приближаются к форме «сферического вихря Хилла».
- Стабильность: Более устойчивы к изгибам, но обладают большой массой захваченного газа. Их движение медленнее, и они быстрее теряют энергию из-за диффузии завихренности по всему объему. - Критическое соотношение: Оптимальная стабильность наблюдается при средних значениях a. Слишком «худые» кольца разрушаются волновыми резонансами, слишком «толстые» — вязким размытием.
Резюме зависимости
Рассмотрим зависимость устойчивости газового тороида (вихревого кольца) от аспектного отношения — отношения радиуса ядра (a) к радиусу кольца (R), или e = a/R — является классической задачей гидродинамики.
Зависимость устойчивости от аспектного отношения
Математические модели (в частности, работы Виднэлла, Саффмэна и др.) выделяют три режима в зависимости от «толщины» кольца:
1. Тонкие тороиды (e -> 0):
- Неустойчивость Виднэлла: Самые тонкие кольца наиболее подвержены азимутальной неустойчивости. На кольце возникают синусоидальные изгибы.
- Зависимость: Количество волн (n), вызывающих распад, обратно пропорционально толщине ядра. Чем тоньше кольцо, тем больше на нем «узлов» деформации (n прибл.= 2,5 / e).
2. Толстые тороиды (Вихрь Хилла, e прибл.= 1):
- Стабильность: Сферические вихри Хилла считаются наиболее устойчивыми к изгибным колебаниям, но они нестабильны термодинамически — они быстро «сбрасывают» излишки массы и превращаются в кольца с меньшим e.
3. Оптимальный диапазон (0,1 < e < 0,3):
- В этом диапазоне кольца демонстрируют максимальное время жизни. Они достаточно «жесткие», чтобы сопротивляться изгибам Виднэлла, и достаточно компактные, чтобы не превращаться в хаотичное облако.
График зависимости устойчивости
Ниже представлен график, иллюстрирующий качественную зависимость инкремента нарастания неустойчивости (скорости распада) от аспектного отношения. Чем выше значение на графике, тем менее стабилен тороид.
Ссылки на ключевые научные работы.
1. Widnall, S. E., & Sullivan, J. P. (1973). "On the stability of vortex rings". — Journal of Fluid Mechanics[2]. Фундаментальная работа, описывающая азимутальные волны и их зависимость от размера ядра.
2. Widnall, S. E., & Tsai, C. Y. (1977). "The instability of the thin vortex ring of constant vorticity". — Philosophical Transactions of the Royal Society[3]. Математическое обоснование резонанса волн в тонком тороиде.
3. Saffman, P. G. (1970). "The velocity of viscous vortex rings". — Physics of Fluids. О влиянии вязкости на изменение аспектного отношения со временем.
4. Gharib, M., Rambod, E., & Shariff, K. (1998). "A universal time scale for vortex ring formation". — Journal of Fluid Mechanics[3]. Исследование «числа формирования» и предела устойчивости при переходе от струи к кольцу.
Устойчивость нелинейна. Тонкие кольца распадаются из-за волнового резонанса, а толстые — из-за структурной нестабильности и вязкого расширения. Оптимум лежит в районе 0,15–0,20.
Наиболее стабильная форма газового тороида соответствует аспектному отношению e прибл.= 0,15 - 0,20. Визуально это выглядит как умеренно «пухлое» кольцо — оно не слишком тонкое, чтобы не развалиться от изгибных колебаний, и не слишком толстое, чтобы не превратиться в хаотичное облако.
Примерный вид тороида представлен на рисунке 1. Взято из [4].
На рисунках 1а и 1с представлены результаты теоретического исследования устойчивости тороидального вихря, ограниченного границей раздела фаз.
Выявлены два различных механизма неустойчивости, основанные, соответственно, на поверхностном натяжении и инерции жидкости, любой из которых может привести к трансформации кругового тора в многоугольный[4].
а) Модель системы описывается тороидальными координатами r, фита, фита м. Происходит тороидальное вращение с угловой скоростью w.
б) Сечение тора радиуса a и тороидальных базисных векторов.
с) Схематическое изображение восьмиугольной неустойчивости.
Характеристики «идеального» тороида на изображениях:
- Четкое ядро (керн): На схемах (например,) видно, что завихренность сосредоточена в компактной области. В стабильном состоянии границы этого ядра четко очерчены градиентом давления.
- Симметрия: В стабильной фазе тороид сохраняет идеальную осевую симметрию. Как только на его поверхности появляются «волны» (начало неустойчивости Виднэлла), он быстро разрушается.
- Потоки обтекания: На гидродинамических картах заметно, как внешняя среда плавно обтекает кольцо, создавая «пузырь» захваченного газа, который движется вместе с вихрем как единое целое.
Как было уже сказано выше представим протон, как газовый или жидкостный тороид (вихревое кольцо) — это классический подход в рамках полуклассических моделей физики, восходящий к идеям лорда Кельвина о «вихревых атомах».
Для расчета нам понадобятся фундаментальные константы протона:
Примем наиболее стабильное аспектное отношение e = a/R = 0,2 (как мы выяснили ранее). Тогда радиус сечения керна a прибл.= 0,168 x 10^-15 м.
1. Расчет скорости вращения в керне (v)
В модели вихревого кольца спин (угловой момент) связан с вращением массы газа. Основной момент импульса сосредоточен в движении частиц по малому радиусу a.
Приблизительная формула: J прибл.= mp v a.
Отсюда скорость:
Это составляет примерно 0,6 скорости света. Такая скорость объясняет устойчивость структуры.
2. Расчет внутреннего давления (разности давлений дельтаP)
Чтобы удержать частицы на круговой орбите радиусом a при такой скорости, центробежная сила должна уравновешиваться градиентом давления.
Используем упрощенное уравнение: дельтаP прибл.= pv2, где p — средняя плотность протона.
Для сравнения: давление в центре Солнца — 2.5 x 10^16 Па. Давление внутри «протона-тороида» на 19 порядков выше.
3. Скорость самодвижения тороида (V)
Согласно формуле Кельвина-Хикса для вихревых колец:
Если принять циркуляцию Г прибл.= 2 pi a v, то скорость поступательного движения такого «протона» в эфире или гипотетической среде будет составлять около 10–15% от скорости света.
Резюме модели «Протон-тороид»:
- Линейная скорость частиц: прибл.= 180,000 км/с.
- Внутреннее давление: прибл.= 10^35 Па (чудовищная величина, соответствующая сильному взаимодействию).
- Стабильность: При e = 0.2 такая структура математически защищена от азимутального распада, но требует наличия внешней среды с колоссальным давлением, чтобы «керн» не расширился.
Примечание!
Интересно, что именно такие порядки величин (давление 10^35 Па) недавно были подтверждены экспериментально в ЦЕРНе при измерении распределения давления внутри протона.
На этой интересной ноте прервёмся в расчётах до следующего раза.
Как видим ещё одна экспериментальная цифирка сошлась с нашими весьма оценочными суждениями.
Как-то так.
[1] https://dzen.ru/
[2] https://www.cambridge.org/
[3] http://maecourses.ucsd.edu
[4] https://www.researchgate.net