📌 Образец оформления решения на экзамене — на фото в конце статьи.
В этой статье разберём задачу, которая встречается в ЕГЭ по профильной математике (задание №16). Это задача про кредит, где два платежа равны, а третий — остаточный.
Условие задачи
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1254,4 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?
Тип задачи
Задача с двумя равными платежами и одним остаточным.
Это не чистая аннуитетная схема (где все платежи равны) и не дифференцированная (где долг уменьшается на фиксированную сумму). Долг погашается неравномерно.
Введём обозначения
- S = 800 тысяч рублей — сумма кредита (июль 2026)
- x — платёж в 2027 и 2028 годах (тыс. рублей)
Процентная ставка
По условию, каждый январь долг возрастает на 20%.
20% — это 0,2 от суммы.
В январе долг увеличивается на 20%, то есть к имеющемуся долгу прибавляется 20% от него.
Если в июле долг был S, то в январе он станет:
S + 0,2·S = S · (1 + 0,2) = S · 1,2
Поэтому каждый январь долг умножается на 1,2.
Как разбиты периоды
Каждый период длится с июля одного года по июнь следующего.
Выплата происходит во втором году периода (с февраля по июнь), а результат фиксируется в июле второго года.
- 1-й период: июль 2026 — июнь 2027 (выплата в 2027 году)
- 2-й период: июль 2027 — июнь 2028 (выплата в 2028 году)
- 3-й период: июль 2028 — июнь 2029 (выплата в 2029 году)
Как заполняется таблица
Таблица состоит из строк. Каждая строка соответствует началу периода (июль 2026, июль 2027, июль 2028). В строке пять столбцов.
- Дата (начало периода) — июль 2026, июль 2027, июль 2028.
- Долг на начало периода — сколько должны на эту дату
- Долг после начисления процентов — долг после января (умножаем на 1,2)
- Выплата — сколько заплатили в этом году (с февраля по июнь)
- Долг на конец периода — что осталось после выплаты (это же будет долгом на начало следующего периода)
Заполняем построчно.
Первая строка (Июль 2026)
- Долг на начало = S
- Проценты начисляются в январе 2027 → долг становится 1,2 · S = 1,2S
- Выплата в 2027 году = x
- Долг на конец периода = (долг после начисления процентов) − (выплата) = 1,2S − x
Записываем в строку «Июль 2026»:
- В столбец «Долг на начало» ставим S
- В столбец «Долг после начисления %» ставим 1,2S
- В столбец «Выплата» ставим x
- В столбец «Долг на конец периода» ставим 1,2S − x
Вторая строка (Июль 2027)
- Долг на начало = (долг на конец предыдущего периода) = 1,2S − x
- Проценты начисляются в январе 2028 → долг становится 1,2 · (1,2S − x) = 1,2² · S − 1,2x
- Выплата в 2028 году = x (по условию, равна платежу 2027 года)
- Долг на конец периода = (долг после начисления процентов) − (выплата) = (1,2² · S − 1,2x) − x = 1,2² · S − 1,2x − x
Третья строка (Июль 2028)
- Долг на начало = 1,2² · S − 1,2x − x
- Проценты начисляются в январе 2029 → долг становится 1,2 · (1,2² · S − 1,2x − x) = 1,2³ · S − 1,2² · x − 1,2x
- Выплата в 2029 году = весь долг после начисления процентов (потому что после неё долг должен стать 0)
- Долг на конец периода = 0
Готовая таблица
Выплаты по годам
- В 2027 году (строка «Июль 2026») выплата = x
- В 2028 году (строка «Июль 2027») выплата = x
- В 2029 году (строка «Июль 2028») выплата = 1,2³ · S − 1,2² · x − 1,2x
Общая сумма выплат = x + x + 1,2³ · S − 1,2² · x − 1,2x
По условию общая сумма выплат равна 1254,4 тыс. руб.
Следовательно, x + x + 1,2³ · S − 1,2² · x − 1,2x = 1254,4
1,2³ = 1,728
1,2² = 1,44
S = 800
x + x + 1,728 · 800 − 1,44x − 1,2x = 1254,4
(1 + 1 − 1,44 − 1,2)x + 1382,4 = 1254,4
-0,64x = 1254,4 − 1382,4
-0,64x = -128
x = 200