Если на вопрос, вынесенный в заголовок, отвечать кратко, то: в центре Земли гравитационное ускорение должно быть практически равно нулю. Но не потому, что там "нет гравитации" как физического явления, а потому что притяжение со всех сторон компенсируется.
Но дьявол, как известно, в деталях.
Если представить Землю как сферически симметричное тело, то в самом центре нет выделенного направления, куда могла бы "тянуть" гравитация. Масса планеты равномерно окружает эту точку со всех сторон, и силы притяжения взаимно гасят друг друга. Это следует из теоремы Ньютона о сферической оболочке: внутри однородной сферической оболочки ее суммарное гравитационное действие равно нулю. То есть внутри сферического тела на вас влияет только масса, находящаяся ближе к центру, чем вы сами.
Ключевая ошибка кроется в распространенной интерпретации этого явления. Часто говорят, что по мере движения к центру Земли гравитация просто плавно уменьшается от 9,8 м/с² до нуля. Если бы наша планета была идеально однородной, то так бы и было: чем ближе к центру, тем меньше массы "под ногами", поэтому притяжение слабее.
Но в реальности Земля устроена сложнее — она неоднородна. У нее есть относительно тонкая кора, мантия и очень плотное металлическое ядро. Ядро почти вдвое плотнее мантии, а сама мантия плотнее коры. Поэтому при гипотетическом погружении к центру гравитация не стала бы просто плавно падать. В мантии она оставалась бы сопоставимой с поверхностным значением и возрастала по мере приближения к границе мантии и ядра, где достигла бы максимума — выше, чем на поверхности Земли.
Связано это с тем, что в более глубоких слоях вещество гораздо плотнее, а значительная часть массы Земли сосредоточена в компактном металлическом ядре. Поэтому уменьшение расстояния до центра и рост плотности сначала могут компенсировать потерю той части массы, что остается "над вами". А вот уже внутри ядра гравитационное ускорение начало бы быстро снижаться и в центре приблизилось бы к нулю.
Есть и еще один нюанс. Земля — не идеальная сфера: она сплюснута, вращается, имеет неоднородности в коре и мантии. Поэтому в строгом математическом смысле гравитация в центре Земли будет немного отличаться от нулевого значения.
Проверить это напрямую, конечно, нереально. До центра Земли никто никогда не добирался и не доберется: там колоссальное давление и температура выше, чем на "поверхности" Солнца. Все выводы основаны на законе всемирного тяготения Ньютона, данных о внутреннем строении планеты, сейсмических наблюдениях, моделях распределения плотности и результатах лабораторных экспериментов.