Всё невозможное возможно? Не всё. Но полтора раза точно
Перед вами восемь фигур. Все выглядят невозможными. Но как минимум один раз ваш мозг ошибся. Или два?
Два из этих объектов существуют в трёхмерном физическом мире — один полностью, второй почти. Один вы можете сделать прямо сейчас, за тридцать секунд и из листа бумаги. Со вторым сложнее: он невозможен математически, но физически — почти реален. Разбираемся с каждым по очереди.
Уже видели эти фигуры раньше? Тогда вы знаете контекст. Если нет — см. Оптические иллюзии.
Все ли невозможные объекты нереальны?
Ваш мозг уже ответил утвердительно на этот вопрос. С одной стороны он убедил себя в этом сам. С другой — статья ведь была про оптические иллюзии. Значит и думать особенно не о чем.
Правильный ответ — не все. Два из таких объектов существуют в нашем трёхмерном мире. Вернее — полтора. Но об этом — ниже.
Фигура № 5 выглядит как обычное кольцо. Это — лента Мёбиуса.
Лента Мёбиуса и её единственная сторона
Любая поверхность имеет две стороны. Например, у листа бумаги есть первая страница, когда мы смотрим на лист. Вторая страница видна когда мы переворачиваем лист. Это две отдельные поверхности.
В 1858 году немецкий математик и астроном Август Мёбиус обнаружил, что если по-особенному склеить концы бумажной полоски (аналог листа) вместо двух поверхностей остаётся только одна!
Создаём ленту Мёбиуса за тридцать секунд
Возьмите полоску бумаги. Если вы склеите обычным образом оба конца, то получите цилиндр с двумя поверхностями, внутренней и внешней.
В нашем случае один из концов полоски перед склейкой поверните на 180 градусов. Результат будет выглядеть почти как цилиндр. Но это уже другой объект. Это — лента Мёбиуса.
Муравьи Эшера
У ленты Мёбиуса одна поверхность и один край. Муравей, которого вы посадите на внешнюю сторону, пройдёт весь маршрут, окажется на «внутренней» и вернётся в ту же точку, не перейдя ни через один край. Потому что никакой «внутренней» нет. Есть одна непрерывная поверхность, которая сама себя обходит.
Именно это изобразил художник Мауриц Эшер в литографии 1963 года: красные муравьи маршируют по ленте бесконечно, не подозревая, что давно уже идут по «другой стороне». Потому что другой стороны не существует.
Что будет, если разрезать ленту Мёбиуса?
Самые странные результаты получаются при разрезании ленты. Если разрезать ленту по центральной линии, она не распадётся на две части (как ожидалось бы), а получится одна длинная лента с двумя оборотами. Если же резать не по центру, а отступив треть от края — выйдут две сцеплённые ленты разной длины. А вот если вместо 180 градусов оборота одного конца ленты перед склейкой повернуть на 540 градусов, образуется сплетённый трилистник.
Каждый раз результат противоречит ожиданию. Это свойства (топология) этого странного объекта по имени "лента Мёбиуса".
А ниже — тот же трилистниковый узел, что и выше справа, но компьютерная математически точная 3D-модель.
Лента Мёбиуса существует физически — и применяется в реальности
Конвейерные ленты в форме Мёбиуса — промышленный патент 1950-х — служат вдвое дольше обычных. Логика простая: у них нет «рабочей стороны» и «нерабочей». Только одна поверхность, и она изнашивается равномерно.
Электронные резисторы. В середине XX века инженеры создавали резисторы в форме ленты Мёбиуса — они не накапливают индуктивность, что важно в высокочастотных схемах. Топология меняла электрические свойства.
Молекулярная химия. В 2003 году химик Райнер Хергес синтезировал первые молекулы с мёбиусовой топологией — порфирины. Следом появились и углеродные структуры с той же топологией.
Архитектура и скульптура. Форма ленты Мёбиуса стала языком современной архитектуры — здания, мосты, скульптуры по всему миру. Такая форма визуально передаёт идею непрерывности, отсутствия начала и конца.
Мёбиус добрался и до ВДНХ в Москве — ехать в Китай не обязательно.
Три неразлучных кольца Борромео
Фамильный герб Борромео с топологическим парадоксом
Три переплетённых кольца (объект № 7) — один из старейших символов в истории. Его использовали скандинавы в IX веке, японцы в средневековых гербах, христиане как знак Троицы. Итальянский род Борромео сделал его центром своего фамильного герба в эпоху Возрождения — и именно их имя закрепилось в математике.
Когда трое сильнее двух пар
Посмотрите на три кольца внимательно. Красное и синее — они сцеплены между собой? Нет. Синее и зелёное? Тоже нет. Зелёное и красное? Снова нет. Ни одна пара не держится сама по себе.
И тем не менее, все три вместе — неразделимы и составляют один холистический (цельный) объект.
Уберите любое одно кольцо — и два оставшихся немедленно рассыпятся. Они держались только потому, что все трое участвовали в одном общем сцеплении. Это называется холистическая связь: она возникает не попарно, а только как система целиком. Либо все три — либо ничего.
Представьте трёх друзей, каждые двое из которых едва знакомы между собой. Но когда все трое в одной комнате — возникает что-то, что держит их вместе. Уйдёт один — и двое оставшихся расходятся по домам, не зная о чём говорить.
Разъединить Нельзя Схитрить
Кольца Борромео устроены так: если убрать любое одно из трёх колец, оставшиеся два немедленно расцепляются. Но разделить все три, не разрезав ни одного — невозможно. Это не вопрос ловкости рук — это топологический факт.
Но я сам точно помню, как мне предлагались головоломки, подобные кольцам Борромео. Вот только вместо колец там были металлические конструкции или вообще верёвочные петли. В чём подвох?
Кольца Борромео невозможны?
Кольца Борромео невозможно реализовать в виде жёстких геометрически идеальных окружностей в трёхмерном пространстве. Почему?
Вот не строгое, но верное по духу объяснение.
Два кольца в одной плоскости. Представьте кольца A и B лежащими в одной плоскости — как два обруча на полу. Теперь кольцо C должно с ними взаимодействовать в борромеевском смысле: проходить под A, возвращаться наверх, проходить под B, возвращаться снова. Каждый такой манёвр — это два пересечения с плоскостью пола: вниз и вверх. Два манёвра — четыре пересечения.
Почему четыре — невозможно. Кольцо C — плоская окружность. Она лежит в своей плоскости. Когда два плоских объекта пересекаются — их плоскости дают линию пересечения. Окружность пересекает прямую максимум в двух точках. Никогда в четырёх. Доказательство было получено математиками Фридман и Скора в 1987 году.
Однако стоит заменить окружности на эллипсы — и всё получается. Причём эллипсы могут быть сколь угодно близки к окружностям на вид. Глаз не заметит разницы. Вот почему невозможные фигуры-иллюзии и физически реальные объекты так легко спутать — граница тоньше, чем кажется
Головоломки-имитаторы колец Борромео
Что именно продаётся под маркой колец Борромео
Физических головоломок из верёвочных или металлических колец, похожих на кольца Борромео, много — и они решаемы. Кольца дали им идею и вдохновение, но сами головоломки устроены иначе.
Вариант 1 — верёвка и кольца
Верёвка продета через кольца, закреплена на деревянной основе. Задача — снять кольцо, не разрезая верёвку. Решение использует топологический трюк: верёвка гибкая, и петлю можно протянуть через кольцо целиком, меняя "направление" зацепления. Это не разрыв — это использование того, что верёвка не является жёстким объектом.
Вариант 2 — псевдо-Борромео из верёвок
Три петли из верёвки, сплетённые по схеме Борромео. Поскольку верёвка мягкая, петлю можно протянуть через другую петлю целиком — и система расцепляется. Это топологически не те же кольца Борромео, потому что мягкая петля может менять свою форму в пространстве.
Вариант 3 — три кольца из гибкого металла.
Выглядят как кольца Борромео. Но сделаны так, что одно из колец чуть деформируется при нажатии — и в этот момент геометрия зацепления нарушается. Пока кольца жёсткие — не разобрать. Как только одно "поддаётся" — вся система рассыпается, как и должно быть по логике Борромео.
Кольца Борромео разъединить невозможно. Их гибкая имитация — разъединяется.
Гибче надо быть, гибче
Математические кольца Борромео — это абстракция. Они предполагают, что кольца жёсткие и неизменяемые. В этом случае разъединить нельзя.
Как только материал становится гибким — кольцо перестаёт быть замкнутой кривой в строгом смысле. Оно может деформироваться, скручиваться, и петля "проходит сквозь" другую петлю не разрывая её — просто меняя конфигурацию в пространстве. Это и есть топологический фокус: не разрыв, а деформация.
***
Подведём счёт.
Лента Мёбиуса выглядит невозможной — и существует физически. Используется в промышленности, синтезируется в химии, применяется в архитектуре. Полный балл.
Кольца Борромео выглядят как решаемая головоломка — но разъединить их без разрыва математически невозможно. Физические имитации, неотличимые на глаз от оригинала — можно. Полбалла за артистизм.
Итого: из восьми невозможных объектов — полтора реальных. Не потому что плохо искали — а потому что «невозможно» оказалось не одним словом, а двумя разными.
«Физически невозможно» — нарушает законы природы. «Математически невозможно» — нарушает аксиомы геометрии. Это не одно и то же. Физика иногда находит обходной путь там, где математика закрыла дверь. А то, что выглядит как нарушение физики, оказывается просто непривычной топологией.
Мозг этого различия не делает — и штампует «невозможно» одинаково в обоих случаях.
Полтора балла на 8 объектов. Хотя изначально мозг был уверен в нуле. А сколько баллов поставил ваш мозг?
Часто задаваемые вопросы
Что такое лента Мёбиуса простыми словами?
Лента Мёбиуса — поверхность с одной стороной и одним краем.
Склейте полоску бумаги, предварительно перекрутив один конец
на 180° — получите объект без «внутренней» и «внешней» стороны.
Как сделать ленту Мёбиуса своими руками?
Возьмите полоску бумаги, поверните один конец на 180° и склейте
оба конца. Занимает 30 секунд.
Почему кольца Борромео нельзя сделать из жёстких окружностей?
Математически — из-за невозможности четырёх пересечений окружности
с прямой. Строго это доказали Фридман и Скора в 1987 году.
Эллипсы вместо окружностей — работают.
Чем отличается «физически невозможно» от «математически невозможно»?
Физически невозможное нарушает законы природы. Математически
невозможное нарушает аксиомы геометрии. Лента Мёбиуса — реальна.
Идеальные кольца Борромео из окружностей — нет.