📌 Образец оформления решения на экзамене — на фото в конце статьи.
Условие задачи
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год — 150 000 рублей.
Тип задачи
Задача с двумя разными платежами и полным погашением за два года.
Это не аннуитет (когда все платежи равны) и не дифференцированная схема (когда долг уменьшается на одну и ту же сумму каждый год). Здесь долг гасится двумя неравными выплатами. В первый год выплачивается одна сумма, во второй год — другая.
Такая схема часто встречается в реальной жизни: например, в первый год заёмщик может платить больше, так как у него есть свободные средства, а во второй год — меньше. Либо наоборот.
Особенность этого типа задач: мы не знаем, как распределяется выплата на проценты и основной долг, но это и не важно. Нам известны только общие суммы платежей за каждый год. Правильно составленная таблица позволяет учесть все детали: начисление процентов на остаток долга, затем вычитание выплаты, и так последовательно до полного погашения.
Введём обозначения
S = 200 тысяч рублей — сумма кредита (июль 2020)
х₁ = 130 тысяч рублей — выплата в первый год
х₂ = 150 тысяч рублей — выплата во второй год
Процентная ставка: каждый январь долг увеличивается на r%, то есть умножается на (1 + r/100).
Чтобы не писать каждый раз выражение (1 + r/100), введём новую букву — коэффициент повышения:
k = 1 + r/100
Как разбиты периоды
Каждый период длится с июля одного года по июнь следующего. Выплата происходит во втором году периода (с февраля по июнь), а результат фиксируется в июле второго года.
1-й период: июль 2020 — июнь 2021 (выплата в 2021 году)
2-й период: июль 2021 — июнь 2022 (выплата в 2022 году)
Как заполняется таблица
Каждая строка таблицы соответствует началу периода (июль 2020, июль 2021). В строке пять столбцов.
| Дата | Долг на начало | Долг после начисления процентов | Выплата | Долг на конец |
Пояснение:
- Долг на начало — сколько должны на эту дату.
- Долг после начисления процентов — долг после января (умножаем на k).
- Выплата — сколько заплатили в этом году (с февраля по июнь).
- Долг на конец — что осталось после выплаты (это же будет долгом на начало следующего периода).
Заполняем таблицу
Первая строка (Июль 2020)
Долг на начало = S ( 200 тысяч рублей) - это сумма, которую взяли в кредит в июле 2020 года.
Далее происходит начисление процентов. По условию, каждый январь долг увеличивается на r%. В нашем случае первый январь — это январь 2021 года.
Чтобы увеличить долг на r%, нужно умножить его на коэффициент k = 1 + r/100. То есть:
Долг после начисления процентов = долг на начало · k = S · k
Это та сумма, которая числится за заёмщиком после того, как банк начислил проценты в январе 2021 года, но до того, как он сделал выплату.
Выплата в 2021 году = х₁ (130 тысяч рублей). Выплата происходит с февраля по июнь (в любое время в этот период), и она уменьшает долг.
Долг на конец периода (июль 2021) = долг после начисления процентов минус выплата = S · k − х₁
Это остаток долга после первой выплаты. Именно с этой суммы банк будет начислять проценты в следующем январе (в январе 2022 года).
Вторая строка (Июль 2021)
Долг на начало = остаток долга после первой выплаты = S · k − х₁
Теперь наступает январь 2022 года. Банк снова начисляет проценты — умножаем текущий долг на k:
Долг после начисления процентов = (S · k − х₁) · k = S · k² − х₁ · k
Это сумма, которая числится за заёмщиком после начисления процентов в январе 2022 года, но до второй выплаты.
Выплата в 2022 году = х₂ (150 тысяч рублей). Она снова уменьшает долг.
Долг на конец периода (июль 2022) = долг после начисления процентов минус выплата = S · k² − х₁ · k − х₂
По условию, кредит полностью погашен за два года. Это значит, что после второй выплаты долг становится равным нулю:
S · k² − х₁ · k − х₂ = 0
Подставляем известные значения
S = 200, х₁ = 130, х₂ = 150
200k² − 130k − 150 = 0
Решаем уравнение
Разделим обе части на 10:
20k² − 13k − 15 = 0
Дискриминант:
D = (−13)² − 4 · 20 · (−15) = 169 + 1200 = 1369
√D = 37
k₁ = (13 + 37) / (2 · 20) = 50 / 40 = 1,25
k₂ = (13 - 37) / (2 · 20) = -24 / 40 = -0,6
Отрицательный корень отбрасываем, потому что k = 1 + r/100. Так как r — это процентная ставка (неотрицательное число), то r/100 ≥ 0, значит k = 1 + r/100 ≥ 1. Отрицательное значение k не подходит по смыслу задачи.
Находим r
k = 1 + r/100 = 1,25
r/100 = 1,25 - 1
r/100 = 0,25 | · 100
r = 25
Ответ: 25
Вывод
Мы ввели обозначения х₁ и х₂ для платежей, вывели уравнение в общем виде, затем подставили числа. Такой подход позволяет чётко разделить логику решения и арифметические вычисления, что особенно полезно в более сложных задачах с несколькими периодами.