Разберём подробно роль коэффициента c в квадратичной функции y=ax^2+bx+c (a≠0).
Что такое коэффициент c и как он связан с графиком
Коэффициент c - это свободный член в уравнении квадратичной функции. Он определяет точку пересечения параболы с осью ординат (OY).
Речь идёт о квадратичной функции вида y=ax^2+bx+c, где свободный член c отвечает за вертикальное смещение параболы, то есть сдвиг графика вдоль оси OY.
Почему точка пересечения имеет координаты (0;c)?
Подставим x=0 в уравнение функции:
y=a⋅0^2+b⋅0+c=c
Таким образом, при x=0 значение y всегда равно c. Это значит, что график функции обязательно проходит через точку (0;c).
Влияние значения c на положение параболы
Значение c определяет, где именно парабола пересекает ось OY:
1. Если c>0 (положительное число):
- парабола пересекает ось OY выше начала координат (выше точки (0;0));
- точка пересечения находится в положительной части оси OY.
2. Если c<0 (отрицательное число):
- парабола пересекает ось OY ниже начала координат (ниже точки (0;0));
- точка пересечения находится в отрицательной части оси OY.
3. Если c=0:
- парабола проходит через начало координат (0;0).
Сдвиг параболы при изменении c
При изменении значения коэффициента c график функции перемещается вдоль оси OY, но его форма остаётся неизменной. Это называется вертикальным сдвигом параболы.
- Увеличение c (например, с 3 до 7) сдвигает параболу вверх.
- Уменьшение c (например, с −2 до −5) сдвигает параболу вниз.
Почему форма не меняется?
Форма параболы определяется коэффициентами a и b:
- a задаёт направление ветвей (вверх/вниз) и их «крутизну»;
- b влияет на положение вершины параболы по горизонтали.
Поскольку при изменении c коэффициенты a и b остаются прежними, форма параболы не меняется — она просто «поднимается» или «опускается» целиком.
Пример с пошаговым разбором
Рассмотрим функцию y=x^2+4x+5.
1. Определяем коэффициент c:
- в данном случае c=5.
2. Находим точку пересечения с осью OY:
- подставляем x=0: y=0^2+4⋅0+5=5;
- координаты точки: (0;5).
3. Анализируем положение:
- поскольку c=5>0, парабола пересекает ось OY выше начала координат.
- Моделируем изменение c:
- Вариант 1: увеличиваем c до 8 → новая функция: y=x^2+4x+8.
точка пересечения с OY: (0;8);
парабола сдвинулась вверх на 3 единицы (с 5 до 8). - Вариант 2: уменьшаем c до −2 → новая функция: y=x^2+4x−2.
точка пересечения с OY: (0;−2);
парабола сдвинулась вниз на 7 единиц (с 5 до −2).
Краткий итог
- Коэффициент c отвечает за точку пересечения параболы с осью OY — это всегда точка (0;c).
- Знак c показывает, где парабола пересекает ось: выше (c>0) или ниже (c<0) начала координат.
- Изменение c вызывает вертикальный сдвиг графика: увеличение — вверх, уменьшение — вниз.
- Форма параболы не меняется, так как коэффициенты a и b остаются неизменными.