«Мир случайностей и закономерностей»: введение в теорию вероятностей

Теория вероятностей — это один из важнейших разделов математики, который изучает случайные события, закономерности их появления и способы вычисления вероятности различных исходов.
Она применяется буквально везде: в статистике, физике, программировании, экономике, машинном обучении, криптографии, анализе рисков, играх и даже в повседневной жизни.

Когда мы подбрасываем монету, бросаем кубик, прогнозируем погоду или оцениваем шанс успеха проекта — мы сталкиваемся с вероятностью.

Что такое вероятность

Вероятность — это числовая мера возможности наступления события.

Проще говоря:

Вероятность — это частотность появления события, делённая на количество испытаний.

Вероятность — это частотность появления множественного события, делённое на количество испытаний.

Если событие происходило 30 раз из 100 испытаний, то:

Это означает, что вероятность события равна 0.3 или 30%.

Диапазон вероятностей

Вероятность всегда является числом от 0 до 1:

где:

• 0 — невозможное событие;
• 1 — достоверное событие;
• числа между ними показывают степень возможности наступления события.

Например:

• P(A)=0 — событие никогда не произойдёт;
• P(A)=1 — событие обязательно произойдёт;
• P(A)=0.5 — вероятность 50%.

События в теории вероятностей

Элементарные события

Элементарные события — это неделимые события, состоящие из одного исхода.

Элементарные события — неделимые события, состоящие из одного элемента.

Например, при броске игрального кубика:

и так далее.

Каждый отдельный результат — элементарное событие.

Неэлементарные события

Неэлементарные события состоят из нескольких элементарных исходов.

Неэлементарные события — события, которые состоят из нескольких элементарных событий.

Например:

Событие A — выпадение чётного числа:

Здесь событие состоит сразу из трёх элементарных исходов.

Пространство элементарных исходов

Главный объект теории вероятностей — множество всех возможных исходов.

Оно обозначается большой омегой:

Прописная омега: Ω

Элементарный исход обозначается маленькой омегой:

Строчная омега: ω

Полное пространство исходов записывается так:

Например, для кубика:

Ω — множество элементарных исходов. Ω = {ω₁,...,ωₙ}

Пустое событие

Пустое событие — это событие, которое не содержит ни одного исхода.

Пустое событие — это тоже событие.

Обозначается:

или

Вероятность пустого события:

Например:

«На обычном кубике выпало число 9» — невозможное событие.

Несовместные события

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Например:

• выпало число 2 и выпало число 5.

При одном броске кубика одновременно это невозможно!

Для несовместных событий:

Мощность множества

Количество элементов множества обозначается вертикальными палочками:

|A| — эти вертикальные палочки обозначение мощности, мощность — количество элементов.

Это называется мощностью множества.

Например:

A={2,4,6}

Тогда мощность множества:

|A|=3

Классическая вероятность

Классическая вероятность — это модель, в которой все элементарные исходы равновозможны.

Например:

• честная монета;
• честный кубик;
• случайная карта из колоды.

Классическая вероятность — конкретный способ определить вероятность на конечном множестве (задаёт функции конкретным образом).

Пространство исходов

Если:

и все исходы равновероятны, тогда вероятность одного исхода:

Формула классической вероятности

Главная формула:

где:

• (m) — число благоприятных исходов. Число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;
• (n) — число всех возможных исходов. Общее число всех равновозможных элементарных исходов опыта.

Пример

Вероятность выпадения чётного числа на кубике:

Благоприятные исходы: {2,4,6}. Их три.

Всего исходов шесть.

Тогда:

A — производная события (A — это элемент, множества 2 в степени Омега).

A — это элемент, множества 2 в степени омега

Итог классической вероятности

Классическая вероятность предполагает:

1. Все исходы равновозможны. Классическая вероятность — это модель вероятности, которая предполагает, что все вероятностные события имеют одинаковую вероятность.
2. Вероятность считается через отношение: благоприятных исходов ко всем возможным. То есть вероятность события рассчитывается, как количество элементарных событий, которые в него входят, поделив их на количество всех элементарных событий в Омега.

Схема Бернулли

Схема Бернулли — это серия независимых повторяющихся испытаний, в каждом из которых существует только два исхода:

• успех;
• неудача.

Пример с монетой

Пусть:

• О — орёл;
• Р — решка.

Подбрасываем монету 3 раза. Тогда: m=3
Все возможные исходы:

8 вариантов из 3-х бросков.

Всего:

8 вариантов

Принцип метода Бернулли

1. Создаётся множество элементарных событий;
2. На этом множестве задаётся вероятность;
3. Вычисляется вероятность нужного числа успехов.

Формула Бернулли

Вероятность того, что событие произойдёт ровно k раз в n испытаниях:

где:

• p — вероятность успеха;
• q=1-p — вероятность неудачи;
• Cₙᵏ — число сочетаний;
• k — число успехов;
• n — число испытаний.

Что такое сочетания

Сочетания вычисляются по формуле:

где:

• n! — факториал числа.

Например:
5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120

Условная вероятность

Условная вероятность — это вероятность события при условии, что другое событие уже произошло.

Формула условной вероятности:

Коротко о главном:

1. Условная вероятность учитывает дополнительную информацию.
2. Событие B считается уже произошедшим.
3. Пространство возможных исходов «сужается».
4. Условная вероятность используется в статистике, медицине и машинном обучении.
5. Если события независимы, условная вероятность не меняется.

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность события через набор гипотез.

Первый вариант формулы

где:

• A — интересующее событие. Вероятность наступления события A;
• H₁​,H₂​,…,Hₙ​ — гипотезы. Полная группа гипотез (попарно несовместных событий, одно из которых обязательно произойдёт в результате испытания);
• Гипотезы образуют полную группу событий;
• P(Hₖ) — вероятность гипотезы. Вероятность гипотезы Hₖ;
• P(A|Hₖ) — условная вероятность. Условная вероятность наступления события A при условии, что реализовалась гипотеза Hₖ.

Второй вариант записи

Это та же формула, только записанная в развернутом виде.

где:

• H₁​,H₂​,…,Hₙ — события, которые образуют полную группу попарно несовместных событий (гипотезы);
• P(H₁) — вероятность наступления гипотезы H₁;
• P(A|H₁) — условная вероятность события A при условии, что гипотеза H₁ произошла.

Независимость событий

События A и B независимы, если наступление одного не влияет на вероятность другого.

A, B — независимы, если вероятность того, что вероятность одновременного наступления события A и B равна произведению вероятности.

Формула независимости:

Пример независимости

• Первый бросок монеты;
• Второй бросок монеты.

Результат первого не влияет на второй.

Попарная и совокупная независимость

Это очень важное различие.

Попарная независимость

Каждая пара событий независима.

Совокупная независимость

Независимы не только пары, но и любые комбинации событий.

Важный факт

Независимость в совокупности не равна попарной независимости.

Можно построить события, которые попарно независимы, но все вместе — зависимы.

Это один из фундаментальных и тонких моментов теории вероятностей.

Геометрическая вероятность

Иногда вероятность определяется через длины, площади или объёмы.

Например:

Так вычисляют вероятность случайного попадания точки в область.

Случайная величина

Случайная величина — это числовое значение результата случайного эксперимента.

Обозначается обычно:

X, Y, Z

Например:

• число очков на кубике;
• количество звонков за час;
• рост человека.

Дискретные и непрерывные величины

Дискретные

Принимают отдельные значения:
1,2,3,...

Например:

• число студентов;
• количество брака.

Непрерывные

Могут принимать любые значения из промежутка.

Например:

• температура;
• время;
• масса.

Математическое ожидание

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины.

Для дискретной величины:

где:

• (xᵢ) — значения;
• (pᵢ) — их вероятности.

Дисперсия

Дисперсия показывает разброс значений.

Формула:

Чем больше дисперсия — тем сильнее разброс.

Закон больших чисел

Если эксперимент повторять много раз, относительная частота события стремится к вероятности.

Именно поэтому статистика работает.

Теорема Байеса

Одна из важнейших теорем современной науки.

Позволяет пересчитывать вероятность гипотез после получения новой информации.

Формула Байеса:

Она используется:

• в искусственном интеллекте;
• диагностике болезней;
• поисковых системах;
• фильтрации спама;
• анализе данных.

Где применяется теория вероятностей

Теория вероятностей используется практически во всех современных науках:

• статистика;
• экономика;
• программирование;
• машинное обучение;
• физика;
• биология;
• криптография;
• социология;
• анализ рисков;
• страхование;
• биржи и финансы.

Заключение

Теория вероятностей — это наука о случайности и закономерностях внутри случайности.

Она показывает, что даже хаотичные процессы подчиняются строгим математическим законам.
Через вероятности человечество научилось прогнозировать погоду, строить искусственный интеллект, анализировать огромные массивы данных и принимать решения в условиях неопределённости.

Главные идеи теории вероятностей:

• любое событие имеет вероятность;
• случайность можно описывать математически;
• множество исходов образует пространство Ω;
• вероятности подчиняются строгим законам;
• независимость и условные вероятности позволяют анализировать сложные процессы;
• повторение экспериментов раскрывает скрытые закономерности.

Теория вероятностей — это фундамент современной математики, статистики и всей науки о данных.

Полезные ресурсы:

Нейросеть Suno для создания песен:

https://suno.com/invite/@antonkzv39

Сообщество дизайнеров в VK:

https://vk.com/grafantonkozlov

Канал дизайнеров на Дзен:

https://dzen.ru/grafantonkozlov

Сообщество Креативного Дизайна в МАХ:

https://max.ru/join/TKDDvkPyqKiTDIZmhWbM0Hftc1UFlg9q63ULNuYYV0I