Теория струн утверждает, что все элементарные частицы — это крошечные одномерные струны, колебания которых порождают разные частицы с разными массами. И для этого требуется 10 или 26 пространственно-временных измерений. Однако нам доступны только 4 измерения, а лишние измерения нужно «свернуть» в многообразие Калаби-Яу, форма которого определяет все физические параметры вселенной. А таких форм (то есть разных вселенных) — 10^500 (с разными константами, массами частиц и физическими законами), это 10 в степени 500 (число 1000000000…0, где после 1 стоит 500 нулей). И только одна из них — наша Вселенная (с известной нам физикой).
Далее мы просто исследуем колоссальное число 10^500 с точки зрения законов мира чисел. Здесь важно напомнить читателю, что в рамках числофизики математические законы достаточно большого отрезка [1; N] натурального ряда (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) моделируют «устройство» некой вселенной, точнее говоря, «устройство» её фундамента —дискретного пространства-времени (бурно флуктуирующего, как и ключевые параметры мира чисел). Собственно, именно об этом и говорят большинство статей мой числофизики. А самое серьезное подтверждение данной (предельно глубокой) гипотезы содержится на обширном вэб-ресурсе «Архив теории чисел и физики», который создает один английский математик (начав эту огромную работу почти 30 лет назад). Также добавлю, что согласно некоторым источникам, Стивен Хокинг и другие современные учёные делали вывод о том, что некоторые формулы индийского математика Рамануджана (гения в части теории чисел) могут объяснять поведение чёрных дыр.
Итак, мы будем полагать, что K ~ 10^500 — это количество первых метачисел, которые «заселяют» некий колоссальный отрезок [1; N] в начале бесконечного натурального ряда (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …). Парадоксально, но у этого (предельно элементарного) ряда удивительно … сложные законы, которые изучает теория чисел — самый «красивый» раздел высшей математики (это мнение многих великих математиков). Свойства метачисел столь богаты и глубоки, что в рамках числофизики каждое метачисло вполне можно отождествлять (в качестве наипростейшей математической модели), скажем, с первичной чёрной дырой, с обычной чёрной дырой, с галактикой или даже … с некой вселенной. Причем разных (по своей физике-математике) вселенных в Мультивселенной может быть множество, в том числе порядка 10^500 вселенных (одна из которых окажется нашей Вселенной с известной нам физикой). Поэтому ниже мы более пристально рассмотрим свойства метачисел (через призму колоссального числа 10^500).
Каждое метачисло (М = 2, 6, 60, 420, 27720, 360360, 12252240, …) порождается в каноническом виде своим простым числом (Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, 229, …) по нехитрому правилу (см. у автора на Дзене статью «Метачисла…», опубликованную 30 марта 2026). Например, 50-ое простое число Р = 229 порождает 50-е метачисло М = (2^7)(3^4)(5^3)(7^2)(11^2)(13^2)∙17∙19∙23∙29∙31∙…∙229 ≈ 8,25∙10^98, то есть у 50-го метачисла в каноническом виде присутствуют все 50 первых простых чисел, а Р = 229 — старшее из них (с порядковым номером K = 50 в ряде всех простых чисел). По мнению автора, канонический вид метачисла (по своей идеологии) отчасти чем-то напоминает … «одномерные струны, колебания которых порождают разные частицы с разными массами» (в теории струн). Главное свойство всякого метачисла, порожденного простым Р, заключается в том, что данное метачисло — это первое (то есть наименьшее) число в натуральном ряде, у которого его первые, как минимум, Р целых делителей (d = 1, 2, 3, 4, …, Р) являются копией начала натурального ряда. Так, в нашем примере первые делители d = 1, 2, 3, 4, …, 229 — это копия отрезка [1; 229], находящегося как бы «внутри» 50-го метачисла (в качестве его первых делителей). И далее (после 50-го метачисла) в натуральном ряде таких чисел N (с копиями отрезка [1; 229] «внутри» N) будет встречаться немало.
Нетрудно доказать аналитически (и проверить с помощью ПК), что если простое Р порождает достаточно большое метачисло (М >> 2), то можно смело пользоваться такой весьма удобной формулой:
М ~ ℮^P или, иначе говоря, М ~ exp(P), (1)
и чем больше простое Р, тем меньше относительная погрешность данной формулы (из которой следует, что lnM ~ P). Знак тильды (~) здесь и далее говорит о равенстве порядков двух величин (стоящих слева и справа от тильды), то есть это довольно грубое равенство (либо асимптотическое равенство теории чисел).
И сразу возникает закономерный вопрос — какое количество (K*) всех простых чисел содержится на достаточно большом отрезке [1; M]? Согласно теории чисел самая грубая (и наипростейшая) оценка параметра K* выглядит так (при M >> 2):
K* ~ M/lnM или, иначе говоря, K* ~ exp(P)/P, (2)
где Р — это, напоминаю, параметр метачисла М, и, согласно формуле (2), у этого простого Р будет такой порядковый номер (в ряде всех простых чисел):
K ~ P/(lnP ─ 1), а при Р >> 1 имеем: K ~ P/lnP. (3)
Из формулы (3) нетрудно получить обратную формулу:
P ~ K∙lnK, (4)
например, порядковый номер K* ~ M/lnM будет у такого простого числа: P* ~ K*∙lnK* ~ M/lnM∙(lnM ─ lnlnM) ~ M∙(1 ─ lnlnM/lnM) ~ M. То есть P* ~ M и в натуральном ряде (см. Пирамиду делителей) слева или справа от всякого метачисла М наиболее вероятно появление именно простого числа Р* (которое вплотную примыкает к М). Из формулы (1) следует, что М >> P (то есть М существенно больше Р), значит, и K* >> K, поэтому звёздочка (*) помогает нам не путать два совершенно разных порядковых номера (K* >> K) у совершенно разных простых чисел (Р* >> Р).
А теперь вернемся к нашему числу 10^500 — количеству (K) разных вселенных в теории струн (одна из них окажется нашей Вселенной). Только это число теперь запишем в таком виде: K = 10^500 = ℮^(500∙ln10) ≈ ℮^1151 = exp(1151) и будем полагать, что это количество первых простых чисел (Р), каждое из которых порождает своё метачисло, то есть K — это также и количество первых метачисел. При этом из формулы (4) находим соответствующее простое число (P с нашим порядковым номером K): lnP ~ lnK + lnlnK ~ 1151 + ln1151 ~ 1158, то есть Р ~ ℮^1158 = exp(1158). И это K-ое простое число, согласно формуле (1), порождает такое метачисло: M ~ exp(P) ~ exp(exp(1158)) с порядковым номером K ~ 10^500 (в бесконечном ряде всех метачисел), то есть именно на найденном отрезке [1; M] (числовой оси) находятся первые K = 10^500 метачисел. Иначе говоря, найденное здесь М в рамках числофизики «моделирует» радиус Мультивселенной, в которой находится и наша Вселенная [полный радиус которой на сегодня составляет около 46 миллиардов световых лет или порядка 4,35∙10^26 метров, что в рамках числофизики может соответствовать «всего лишь» первым 10^99 натуральным числам — см. на Дзене начало моей статьи «Числовая модель Вселенной (одна из многих возможных)», опубликованной 6 апреля 2026 г.]. Таким образом, если K ~ 10^500 ~ exp(1151) ─ это порядковый номер метачисла М, «моделирующего» Мультивселенную, то K* ~ M/lnM — это порядковый номер простого числа P* ~ K*∙lnK* ~ М ~ exp(exp(1158)), «моделирующего» размер (точнее говоря, радиус) Мультивселенной.
При M >> 1 из формул (1) … (4) также нетрудно получить:
K*/K ~ M∙lnP/P^2, (5)
P*/P ~ M/P, (6)
(P*/P)/(K*/K) ~ K. (7)
Два замечания (две фантазии автора) в части метачисла М: 1). Найденное нами M ~ exp(exp(1158)) можно трактовать как простое число (P* ≈ М), порождающее ещё бОльшее метачисло M* ~ exp(P*) ~ exp(exp(exp(1158))), поэтому первые M натуральных чисел, то есть отрезок [1; M] можно трактовать как «всего лишь» первые делители «внутри» ещё бОльшего метачисла М*. И количество подобных «вложений» — бесконечно велико («вложений» разных вселенных в Мультивселенную; разных мультивселенных в ещё бОльшее Множество; и т.д.).
2). Поскольку 1158 ≈ exp(exp(1,95366)), то найденное М можно записать и так: M ~ exp(exp(exp(exp(1,95366)))), что соответствует K = 10^500 (с чего и начинается наш алгоритм, см. выше). Однако более «красивой» выглядит следующая запись (где мы «танцуем» от числа 2, то есть от первого простого числа): M ~ exp(exp(exp(exp(2)))), что соответствует K ~ 10^702 (проверьте это сами по нашему алгоритму). Возможно, именно такое (гораздо бОльшее) количество разных вселенных в Мультивселенной?
Радиус (R) простого числа (с порядковым номером K ≥ 2) — так мы будем называть разность между соседними простыми числами (с номерами K и K + 1). Очевидно, что наименьший радиус Rmin = 2 будет у всех первых простых чисел в каждой паре простых чисел-близнецов: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), … . Эти пары встречаются, скорее всего, до бесконечности (что до сих пор не доказано). При этом на отрезке [1; P] будет такое количество (W) пар чисел-близнецов (самая грубая оценка параметра W по мнению автора):
W ~ P/Rmax, (8)
где Rmax ~ (lnP)^2 ─ lnP, (9)
причем это … максимально возможный радиус (Rmax) у простого числа Р в конце отрезке [1; P], найденный согласно гипотезе Фирузбэхт (в части Rmax в теории чисел есть и другие гипотезы). Значит, на отрезке [1; P] среднее расстояние между парами простых чисел-близнецов будет, грубо говоря, таким: P/W ~ Rmax. Например, при Р = Р* = М ~ exp(exp(1158)), то есть на границе Мультивселенной мы получаем: W ~ M/(lnM)^2 и Rmin = 2, а Rmax ~ (lnM)^2 ~ exp(1158)^2 ~ exp(2316). Наше воображение просто не способно представить подобные флуктуации (как и размеры Мультивселенной).
Идеальный радиус (Rи) ─ это разность между соседними идеальными простыми числами (с порядковыми номерами K и K + 1), то есть растущими без всяких флуктуаций по идеальному закону P ~ K∙lnK (см. формулу 4). Нетрудно доказать, что Rи будет расти по закону логарифма:
Rи ~ 1 + lnK, (10)
и примерно также будет расти среднее расстояние между простыми числами: P/K ~ lnK. Так, у идеального простого числа Р* (с номером K*) мы получаем такой идеальный радиус: Rи ~ lnK* ~ lnM ─ lnlnM ~ exp(1158), иначе говоря, это средний радиус у простых чисел на отрезке [1; M].
Каких радиусов (R) больше всего? На небольших отрезках [1; Р] (до P = 101 … 419) наиболее часто встречаются («побеждают») простые числа с радиусом R = 2 (а их доля убывает примерно от 35 % до 27 %). Затем доля радиусов R = 2 почти совпадает с долей радиусов R = 4 (как долго длится указанное совпадение?). Примерно при Р = 1097 начинает преобладать («побеждать» радиуса R = 2 и R = 4) доля простых чисел с радиусами R = 6 (это простые числа-сексты). И, если у первых 1200 простых чисел доля радиусов R = 6 была 24,25 %, то у первых 120000 простых (Р от 2 до 1583357) эта доля убывает до 16,78 % (оставаясь наибольшей долей). На ещё бОльших отрезках (когда Р — это миллионы и более) наиболее частыми оказываются радиуса кратные 6 (то есть R = 12, 18, 24, …), так как простые числа (кроме Р = 2 и Р = 3) имеют вид 6∙k ± 1. Компьютерные проверки (эмпирические данные) математиков-профессионалов от Р = 1583357 до P ~ 10^18 показывают, что радиуса R = 6, 12, 18, 24, и т. д. встречаются часто, но ни один из этих радиусов уже не «побеждает» на всех отрезках [1; P]. В этом проявляются удивительные свойства простых чисел, а также, возможно, содержится одно из главных объяснений «магии» числа 7 (известной нам даже в обыденной жизни, в природе). Важное замечание: в рамках числофизики под квантом пространства автор обычно понимал расстояние между соседними простыми числами (которое мощно флуктуирует от Rmin = 2 до Rmax), однако в качестве кванта пространства можно рассматривать и расстояние между соседними парами простых чисел-близнецов или, скажем, расстояние между соседними простыми числами-секстами и т.д.
Согласно теории чисел, у всякого натурального числа N, зная его канонический вид, легко вычислить тип (Т) — количество всех целых делителей у данного числа N (надо перемножить все его показатели степени, увеличенные на 1). Например, у 50-го метачисла (см. выше) мы получим T ≈ 7,600∙10^16 делителей. При этом мы видим, что канонический вид 50-го метачисла отчасти напоминает канонический вид 50-го праймориала, который по определению является произведением первых 50-ти простых чисел, но только в первой степени (в отличие от 50-го метачисла). Поэтому у прайморила количество (Т) всех целых делителей будет вычисляться, очевидно, так:
Т = 2^K, (11)
где K — это порядковый номер (в ряде всех простых чисел) старшего простого Р, порождающего праймориал, иначе говоря, K — это количество всех первых простых чисел в каноническом виде данного праймориала. Так, для 50-го праймориала мы получаем: Т = 2^50 = 1,13∙10^13, что в 68 раз меньше, чем у 50-го метачисла. При этом исследования автора на ПК (27.04.2026) показывают, что для метачисел (начиная, скажем, с Р = 137, имеющего номер K = 33) достаточно точно работает следующая эмпирическая формула:
Т ~ Р∙2^K или, иначе говоря, T ~ P∙exp(K∙ln2), (12)
где ln2 = 0,6931…; а Р — это старшее простое, порождающее K-ое метачисло, причем K — это реальный порядковый номер (в ряде всех простых чисел) старшего простого Р. Когда реальный номер Kнеизвестен, то его, напоминаю, (см. формулы 3 и 4) можно вычислить: K ~ P/(lnP ─ 1), откуда получаем P ~ K∙lnK.
Очевидно, что у всех простых чисел P (имеющих только два делителя 1 и само Р) будет наименьший тип Tmin = 2 (правда, у совершенно особого числа N = 1 получаем ещё меньше: Т = 1). Согласно теории чисел на отрезке [1; M] у большинства чисел такое (мы будем говорить) нормальное количество (Тн) всех делителей:
Tн ~ 2^lnlnM или, иначе говоря, Tн ~ (lnM)^ln2 ≈ (lnM)^0,693. (13)
Например, при нашем M ~ exp(exp(1158)) формула (13) нам даёт Тн ~ exp(1158)^0,693 ~ exp(802).
При этом на любом отрезке [1; M] сумма (S) всех делителей у всех М чисел определяется по формуле Дирихле: Sт ~ M∙lnM, поэтому средний делитель (Тс = Sт/M) будет таким:
Тс ~ lnM. (14).
У всякого метачисла (М) его реальный тип (T) — это почти максимально возможный тип (Tmax) на отрезке [1; M]. Сказано «почти», поскольку тип всякого метачисла сначала (то есть раньше на числовой оси) появится у родственного сверхсоставного числа (типомакса), который немного меньше родственного ему метачисла (с таким же типом Т). Поэтому в части картины роста максимально возможных типов (Т = Тmax) метачисла являются удобными и наиболее точными заменителями типомаксов. Поскольку, хотя типомаксы гораздо чаще встречаются, чем метачисла, но находить типомаксы значительно труднее (для них автор не знает достаточно простого алгоритма). Вообще следует заметить, что закономерности в части всевозможных типов (Т) — это также бесконечно интересные и сложные закономерности мира чисел. См. на Дзене статью автора «Сверхсоставные числа (типомаксы, метачисла)», опубликованную 30 марта 2025. А мощнейшие флуктуации типов (от Tmin = 2 до Тmax) на рассматриваемом отрезке [1; M] также (как и флуктуации радиусов R) лежат далеко за пределами нашего воображения.
Из формул (1) и (12) для важного отношения М/T мы получаем:
M/T ~ exp[P∙(1 ─ ln2/lnP)]/P, (15)
то есть отношение M/T устремляется к expP/P, когда Р устремляется к бесконечности (M/T → expP/P при Р → ∞). Например, при Р = 30011 (когда K = 3246) реально имеем: M/T ≈ exp(27699) при этом expP/P ≈ 30001.
Из формулы (12) для важного отношения Т/Р мы получаем:
Т/Р ~ 2^K или, иначе говоря, Т/Р ~ exp(K∙ln2). (16)
Какое количество (Kc) сверхсоставных чисел (типомаксов) содержится на отрезке [1; M]? Из формул теории чисел [неравенства у Пал Эрдёш (1944 г.) и Жан-Луи Николас (1988 г.)], а также из моих исследований на ПК первых 1189 типомаксов (2019 г.) получена такая полуэмпирическая формула:
Кс ~(lnM)^[0,3568/(lnlnM)^1,305 + 1,2911], (17)
При Р ~ exp(1158) формула (17) нам даёт Kc ~ exp(1495) ~ 10^649, что на много порядков больше, чем количество метачисел (K ~ 10^500).
07.05.2026, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2026