В ряде натуральных чисел (N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) есть два бесконечных множества: простые числа и составные числа. Простые числа (Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …) имеют только два делителя (1 и само Р), а составные числа (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …) составляются («конструируются» самим Творцом?) в каноническом виде из простых чисел (их записываем по возрастанию):
N = (2^a)(3^b)(5^c)(7^d)∙…∙(Р^w), (1)
где a, b, c, d, …, w – показатели степени, в которую возводится каждое простое число (при этом для любого Р полагаем: Р^0 = 1 и P^1 = P). Например, N = (2^2)(3^0)(5^1)(7^2) = 4∙5∙49 = 980. Поэтому простые числа – это фундамент мира натуральных чисел (которые являются наилучшим воплощением понятия «дискретность»). В теоретической физике пространство-время (которое, скорее всего, также дискретное) – это фундамент реального Мироздания. Примечательно, что сама идеология канонического разложения (1) в мире чисел весьма напоминает идеологию такой красивой «теории всего» в физике, как теория струн.
В рамках числофизики тип (Т) любого составного числа N — это количество всех его целых делителей (включая 1 и само N). Зная каноническое разложение (1) числа N его тип вычисляется по красивой (комбинаторной) формуле:
Т = (a + 1)(b + 1)(c + 1)∙(d + 1)∙…∙(w + 1), (2)
Например, для числа N = (2^2)(3^0)(5^1)(7^2) = 980 мы получаем такой тип: Т = (2 + 1)(0 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 18, то есть у числа N = 980 всего 18 делителей (D = 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, …, 980), что легко проверить на ПК.
Пусть K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, … — это порядковые номера («счётчик») простых чисел, начиная с Р = 2. Согласно теории чисел (сложный и самый «красивый» раздел высшей математики) на любом отрезке [1; P] числовой оси будет примерно такое количество (K) простых чисел:
K ~ P/(lnP ─ 1), (3)
где «тильда» (~) — это знак асимптотического равенства (см. теорию чисел), а также знак равенства порядков (то есть довольно «грубое» равенство величин, например, 7∙10^8 ~ 4∙10^9). Функция lnP = Х ─ это логарифм натуральный числа Р, то есть это показатель степени (Х), в которую надо возвести число ℮ = 2,718…, чтобы получить число Р, поэтому Р = ℮^X = exp(X). Из формулы (3) мы находим вероятность (V) встретить простое число на отрезке [1; P]:
V = K/P ~ 1/(lnP ─ 1), (4)
то есть по мере роста правой границы (Р) отрезка [1; P]— указанная вероятность устремляется к нулю (V → 0), и при движении вправо по числовой оси — нам всё труднее и труднее встретить очередное простое число (с двумя чёрными камнями по горизонтали, см. Пирамиду делителей на рис.1).
Из формулы (3) получаем обратную к ней формулу (также весьма полезную):
P ~ K*lnK, (5).
из которой нетрудно доказать, что расстояние (R) между соседними простыми числами (иначе говоря, радиус простого числа Р с порядковым номером K), вообще говоря, растет по такому закону:
R ~ 1 + lnK или R ~ 1 + lnP ─ lnlnP. (6)
Однако всегда (вплоть до бесконечности?) случайным образом будут встречаться простые числа-близнецы, то есть пары простых чисел (3, 5), (5, 7), (11, 13), …, у которых R = Rmin = 2. При этом максимально возможный радиус (R = Rmax) у простого числа (Р > 23) будет таким (гипотеза Фирузбахт):
Rmax ~ (lnP)^2 ─ lnP ─ 1. (7)
В рамках числофизики автор, как правило, полагал, что параметр R — это размер элементарной ячейки пространства (ЭЯП) с порядковым номером K (cм. статью автора «Элементарные ячейки пространства …», опубликованной на Дзене 06.01.2025). При этом, как мы видим, размер ЭЯП случайным образом меняется (флуктуирует) в широком диапазоне (от R = 2 до R = Rmax). Однако размер ЭЯП можно полагать и существенно бОльшим (более сложным), скажем, это расстояние между соседними парами простых чисел-близнецов, или, скажем, это расстояние между соседними сверхсоставными числами (см. далее).
Любопытно, что радиус (R) простого числа Р (см. вторую из формул 6) весьма близок к среднему количеству делителей (то есть к среднему типу: Тср ~ lnP ) у гипотетического натурального числа на отрезке [1; P], что следует из формулы Дирихле. Иначе говоря, в Пирамиде делителей высотой Р (от её вершины, см. рис.1) параметр Тср — это среднее количество чёрных камней у одного гипотетического числа (весьма «красивое» свойство мира чисел).
Найти тип (Т) очень легко у K-го праймориала (П = 2∙3∙5∙7∙11∙13∙…∙Р) — так называется число, образованное произведением первых K простых чисел (идущих без пропуска и только в 1-й степени). Из формулы (2) следует, что K-ый праймориал имеет следующий (относительно большой) тип:
Т = 2^K или с учётом формулы (3): Т ~ 2^[P/(lnP ─1)]. (8)
Если мы чуть усложним K-ый праймориал (его первые простые числа возведем в некую целую степень), то получим (крайне интересное) метачисло (М), порожденное K-ым простым числом Р:
M = 2^[lnP/ln2]∙3^[lnP/ln3]∙5^[lnP/ln5]∙…∙Р^[lnP/lnР], (9)
где квадратные скобки означают, что все K показателей степени — это целая часть (функция антье) от деления lnP на ln2, на ln3, на ln5, …, на lnP. Нетрудно убедиться на ПК, что получаемые таким образом метачисла (каждое Р порождает своё М) имеют максимально возможный тип (Т) сверхсоставных чисел (или, иначе говоря, типомаксов, у них Т больше, чем у всех предшествующих им чисел). То есть у каждого метачисла (М) тип равен типу некого (скажем так, родственного ему) типомакса (N), но вот само это метачисло будет немного больше родственного ему типомакса: N ≤ M (и типомаксы встречаются гораздо чаще, чем метачисла, но находить типомаксы гораздо сложнее, чем метачисла).
Если в формуле (9) отказаться от функции антье, и прологарифмировать обе части формулы (9), то мы получаем: lnM ~ (lnP/ln2∙ln2)(lnP/ln3∙ln3)(lnP/ln5∙ln5)∙…∙(lnP/lnP∙lnP) ~ K∙lnP или (с учётом формулы 3) lnM ~ P/lnP∙lnP, откуда окончательно получаем весьма удобную приблизительную формулу:
lnM ~ P или М ~ ℮^P = exp(P). (10)
При этом также нетрудно убедиться (с помощью ПК), что в формуле (9) по мере роста K-го старшего простого числа Р (порождающего метачисло в каноническом виде 9) количество (k) первых показателей степени [lnP/ln2], [lnP/ln3], [lnP/ln5]…, которые больше 1, будет расти весьма медленно согласно такому эмпирическому неравенству (при 3 ≤ K ≤ 3246):
k/K < 1,2/K^0,546. (11)
То есть по мере роста K (роста простого числа Р и самого метачисла М) отношение k/Kустремляется к нулю, поэтому для вычисления типа (Т) у метачисла можно использовать формулу (8) для праймориала, а с учётом формулы (10) для метачисла мы получаем:
T ~ 2^(lnM/(lnlnM ─ 1), (12)
Поэтому для метачисла можно записать:
Z = lnT/lnM или lnT/lnM ~ ln2/(lnP ─ 1), (13)
причем для относительно малых метачисел (7 ≤ Р ≤ 137) работает такая наипростейшая эмпирическая формула (достоверность аппроксимации 0,9958):
Z ~ 0,9539/P^0,328. (14)
При росте Р в диапазоне 127 ≤ Р ≤ 137 параметр Z = lnT/lnM существенно меняет закон своего изменения, поэтому для больших метачисел (127 ≤ Р ≤ 30011) лучше работает следующая эмпирическая формула (достоверность аппроксимации 0,9975):
Z ~ ln2/(lnP ─ 1)/W, (15)
где поправка W = ─ 0,0018(lnP)^2 + 0,0423∙lnP + 0,7373 растет от W = 0,9000 до W = 0,9821, а при Р = 126754, вероятно, достигает значения W = 0,9858, то есть поправка W явно устремляется к 1.
Из формулы (13) мы также получаем:
lnT ~ Р/(lnP ─ 1)∙ln2, (13)
то есть у метачисла М логарифм его типа (lnТ) — это почти 69,3 % от количества (K, см. формулу 3) простых чисел на отрезке [1; P], где правая граница Р — это простое число, порождающее данное метачисло (М ~ ℮^P). Стоит добавить, что число ln2 = 0,693… близко к пресловутому «золотому сечению» (0,618), которое якобы обладает некой «волшебной магией» в природе, хотя на самом деле магией в наибольшей мере обладают законы мира натуральных чисел (теории чисел), некоторые из которых мы и рассмотрели выше.
В рамках числофизики трудно переоценить роль метачисел и сверхсоставных чисел (типомаксов). Отчасти это угадывается, например, и в таких недавних статьях автора (есть на Дзене и во ВКонтакте):
«Парадоксы и тайны БЕСКОНЕЧНОСТИ», 30.05.2025;
«Первичные чёрные дыры…» (элчисла), 18.05.2025;
«Сверхсоставные числа (типомаксы, метачисла), 30.03.2025;
«Вселенная – это … внутренность чёрной дыры…», 07.12.2024;
«Как далеко копия нашей Вселенной?...», 11.11.2024;
«Метачисла – вехи Метавселенной...», 13.05.2024;
«Вероятность появления нашей Вселенной», 27.05.2023; и т.д.
30.03.2026, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2026