Слово "экспонента" стало знакомо большинству далеких от математики или физики людей во время пандемии ковида. Слово употреблялось в сообщениях типа "развитие эпидемии пошло по экспоненте", что считалось худшим вариантом развития явления.
Но понятием экспоненты пользуются не только эпидемиологи, но и инженеры. В частности, при заряде или разряде электрического конденсатора напряжение на нем, как правило, также изменяется (увеличивается или уменьшается) по экспоненте.
Итак, экспонента может как быть растущей, так и спадающей. Что может быть общего между такими совершенно разными видами поведения некоторой переменной (числа зараженных людей, значение напряжения или тока)?
Давайте начнем с эксперимента, воспользовавшись тем, что остывание горячей воды в сосуде описывается экспоненциальной зависимостью.
Остывание 3 литров воды до комнатной температуры
Возьмем 3-литровую стеклянную банку, отметим на ней уровень заполнения 3 л (или 3 кг, не будем проводить большой разницы в пределах точности нашего опыта). Нагреем отдельно до температуры кипения достаточное количество воды и с соблюдением мер предосторожности заполним нашу банку до отметки.
(Так, банку необходимо предварительно поставить в раковину, прогреть горячей водой, после чего горячую воду вылить и осторожно влить кипяток).
Осторожно ставим банку на стол, помещаем в воду датчик электронного термометра с ценой деления 0,1 °С, фиксируем датчик и накрываем банку крышкой, чтобы исключить или свести к минимуму испарение.
За время наших манипуляций температура воды наверняка спадет ниже 90 °С, мы же будем периодически, по мере остывания воды, отмечать ее температуру (сначала через 10, затем через 20, 30, 60 и 120 минут), вплоть до полного остывания воды (уравнивания ее температуры с температурой воздуха в комнате). Поверите ли, опыт придется проводить почти сутки.
Ниже таблица показаний термометра в зависимости от времени. Время первого отсчета считается условно временем 0.
В первой колонке таблицы время в минутах, во второй температура в °С, в третьей скорость изменения температуры в °С/мин., вычисляемая, в качестве примера, для отметки времени 10 минут как Δ=(Т0-Т20)/20, где Т0 и Т20 - соответственно температура воды в моменты времени 0 и 20 минут, а 20 - интервал времени между отметками времени 20 и 0 минут.
Построим график температуры и скорости остывания воды в зависимости от времени. Время по горизонтальной оси, температура по левой вертикальной оси, скорость по правой вертикальной оси.
Скорость остывания аппроксимирована экспонентой, это можно сделать средствами программы MS Excell "Формат линии тренда".
Аппроксимация — это способ упростить сложные данные или задачи, заменив их более простыми моделями, которые достаточно точно отражают исходную информацию. Проще говоря, это метод приближения, когда сложная, неровная или неполная информация описывается гладкой математической функцией, которая передаёт главную тенденцию, но не обязательно проходит через каждую точку данных.
А вот температуру аппроксимировать экспонентой через Excell мы не рискнули, хотя по графику видно, что это очень схожие кривые. Дело в том, что определение термина «экспонента» может быть неоднозначным или вызывать затруднения в некоторых контекстах, хотя у людей технических специальностей обычно недоразумений не возникает.
Берем распространенное определение, вошедшее в Википедию:
- Экспонента - показательная функция f(x)=exp(x)=e^x, где e≈2,718... - число Эйлера. Итак, экспоненциальная функция - частный вид более общей показательной функции.
- Показательная ́функция - математическая функция f(x)=a^x, где a называется основанием степени, а x - показателем степени.
По определению показательной функции основание должно быть положительным (a>0) и не равным 1 (a≠1).
А теперь рискнем отклониться от стандартного определения, сообщив, что экспоненту с основанием, равным 1, можно считать вырожденным случаем экспоненты. Это связано с тем, что при таком основании функция принимает вид f(x) = 1^x = 1. Это постоянная функция, которая не демонстрирует характерного для экспоненциальных функций роста или спада.
Таким образом, вопрос о том, считать ли экспоненту с основанием 1 вырожденным случаем, зависит от конкретного определения экспоненциальной функции и контекста, в котором она рассматривается.
- Вырожденные случаи зачастую связаны с предельными случаями, когда некоторые параметры или условия принимают особые значения, приводящие к упрощению структуры объекта.
При этом в англоязычной литературе зачастую четкое различие между показательной и экспоненциальной функциями не проводится.Тем самым, термин «экспоненциальная функция» может использоваться в более широком смысле, охватывая как функции вида a^x, так и функции с основанием e: e^x. Связано это с тем, что любое положительное основание a может быть представлено в виде степени числа е (a=e^ln a), а читая литературу на русском языке, вы можете и не знать, что это перевод с английского языка.
- Примечание: число Эйлера хорошо запоминается через мем "2,7 а затем дважды Лев Толстой". 1828 - год рождения Льва Толстого, а число Эйлера с точностью до 10 знаков - это 2,718281828.
Ниже пример экспоненциальной функции согласно определению с основанием e≈2,718, и 2 примера показательных функций с основаниями 2 и 3.
Любое число при возведении в нулевую степень (x=0) дает 1, тем самым все графики по рисунку выше проходят через точку (0,1).
Глядя на графики, мы готовы согласиться, что примерно так, с резким ростом от какого-то начального значения, происходит развитие эпидемий.
Но какое отношение к экспоненте имеет график остывания воды, где наблюдается не возрастание, а уменьшение значения функции (температуры) по ходу времени?
Некоторые свойства показательной функции с основанием, отличным от 1:
- область определения — множество всех действительных чисел;
- область значений — множество всех положительных действительных чисел;
- при a > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 < a < 1 — убывает.
Построим графики показательной функции с некоторыми основаниями, меньшими 1, при этом только для положительных значений аргумента x.
Эти графики уже схожи со снятым нами графиком остывания воды, но вода остывает до температуры помещения, в то время как графики по рисунку выше асимптотически стремятся к 0. (Это хорошо видно для основания a=0,2, а чтобы убедиться в асимптотическом стремлении к нулю графиков показательной функции с основаниями 0,5 и 0,8 необходимо продлить графики вправо).
- Асимптота графика функции — это прямая, к которой график функции бесконечно приближается при удалении вдоль ветви в бесконечность, но может пересекать ее конечное число раз. Асимптоты помогают описать поведение функции при больших значениях аргумента и анализировать ее свойства.
Чтобы окончательно разобраться с тем, график какой функции мы можем назвать экспонентой, разберемся с понятиями масштабирования и смещения.
Масштабирование функции, в т.ч. и показательной - это преобразование ее графика, влияющее на его форму и размер. Масштабирование может осуществляться путем растяжения или сжатия графика вдоль осей координат, как горизонтальной (вдоль оси X), так и вертикальной (вдоль оси Y).
Смещение графика функции — это изменение положения графика относительно исходной функции. Это может быть сдвиг графика по горизонтали или по вертикали.
Масштабирование и смещение показательной функции осуществляется путем изменения коэффициентов в формуле функции.
Рассмотрим формулу расчета температуры остывающей воды, что описывается законом охлаждения Ньютона. Формула выглядит так:
T(t) = Tср + (T0 — Tср) · e^(-kt),
где: T(t) — итоговая температура в момент времени t;
Tср — температура окружающей среды;
T0 — начальная температура воды (например, горячего кипятка); k — коэффициент охлаждения, зависящий от конкретной ёмкости;
t - время в минутах.
Это и есть формула экспоненты, смещенной по вертикали на Тср, и масштабированной согласно коэффициенту k. Формула пригодна и для случая нагрева воды, когда температура окружающей среды выше начальной температуры воды. (Разумеется, для случаев, когда не происходит изменения агрегатного состояния воды - она не замерзает и не превращается в пар).
Таким образом, с учетом смещения и масштабирования полученный нами в эксперименте график охлаждения воды мы с полным правом можем назвать экспонентой.
Чтобы аппроксимировать этот график формулой, необходимо подставить в качестве температуры среды температуру, определенную по графику как температуру линии горизонтальной асимптоты, а именно 28,4 (или близкую величину, определенную из условия наилучшей аппроксимации всех точек графика). Начальная температура воды равна 87,4 - это температура в момент начала отсчета времени.
Окончательно формула выглядит так:
T(t) = Tср + (T0 — Tср) · e^(-kt) = 28,78+(86,47-28,78) · e^(-0,005092*t)
Значение коэффициента пропорциональности k зависит от от условий теплообмена: конструкции сосуда, площади его поверхности, свойств среды и т. д.).
Остывание 1 литра воды до комнатной температуры
Поэкспериментируем и в этом направлении: повторим опыт со стандартной литровой банкой. Интуиция и жизненный опыт подсказывают, что литровая банка кипятка будет остывать быстрее, чем 3-литровая.
Ниже таблица показаний термометра в зависимости от времени.
График температуры воды в зависимости от времени.
Опытные данные аппроксимированы экспонентой
T(t) = Tср + (T0 — Tср) · e^(-kt) = 28,70+(83,85-28,70) · e^(-0,007908*t)
Обратите внимание, что коэффициент k в показателе степени экспоненты изменился с -0,005092 до -0,007908, что свидетельствует о более быстром остывании 1-литровой банки с водой в сравнении с остыванием 3-литровой банки.
Обобщаем результаты эксперимента
Скорость остывания воды ускорилась всего в (-0,007908/-0,005092)=1,553 раза. Как это может быть связано с количеством жидкости? Если вы навскидку попытаетесь найти ответ в интернете, он вас введет в заблуждение или удивит, если вы уже достаточно подготовлены, чтобы знать ответ. Распространенное утверждение: Скорость остывания воды зависит от ее массы обратно пропорционально.
Но существует четкое определение обратной пропорциональности, известное из курса математики 6-го класса:
- Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Здесь же 3-кратному изменению массы воды отвечает примерно 1,5-кратное изменение скорости ее остывания. Придется разбираться в вопросе самостоятельно
Теплообмен жидкости в сосуде с окружающей средой осуществляется через площадь контакта 2 сред - окружающего воздуха и банки с водой. Считаем, в первом приближении, что 3-литровая и 1-литровая банка подобны.
- Подобность двух тел — это свойство геометрических тел, при котором они имеют одинаковую форму, но могут отличаться по размеру. При этом все соответствующие линейные размеры (длина, ширина, высота) одного тела пропорциональны соответствующим размерам другого.
Исходя из принятия условия подобия форму 2 банок, при линейном увеличении размера банки в N раз площадь ее поверхности увеличивается в N^2 раз, а объем (масса, а тем самым и теплоемкость) в N^3 раз. Тем самым скорость отдачи количества тепла при равных условиях должна увеличиться в N^2 раза, а скорость изменения температуры за счет увеличения теплоемкости при равных условиях уменьшиться в N^3 раз. При действии обеих факторов (площади поверхности и объема) скорость изменения температуры пропорциональна N^2/N^3=1/N, т.е. обратно пропорциональна размеру.
Линейный размер тела при сохранении подобия изменяется пропорционально корню кубическому из объема, и при уменьшении объема в 3 раза скорость отдачи тепла должна увеличиться в √3=1,442 раза. На опыте после аппроксимации экспериментальных данных экспонентой мы получили отношение 1,553. Разница относится за счет не полного подобия сосудов, иными условиями отдачи тепла дном банки, испарением жидкости (что сводится к минимуму путем закрытия банки крышкой).
Любое отклонение опытных данных от теоретических нуждается в объяснении несовершенством модели, погрешностью измерения, и еще множеством неучтенных мелких факторов.
Анализ этих отклонений позволяет в последующем уточнить модель, повысить точность измерения, устранить второстепенные факторы и/или свести их влияние к минимуму.