Когда я узнал об этом факте, я был в настоящем шоке. Оказывается, существует факт о треугольниках, который ускользал от внимания учёных и математиков множества культур на протяжении более двух тысяч лет упорных исследований!
Древние египтяне, вавилоняне, древние греки, китайские и исламские математики — у всех них треугольники были одним из краеугольных камней геометрии. Я уже не говорю об индийских ученых, которые превратили тригонометрию в огромную самостоятельную науку.
Треугольник, вероятно, самая тщательно изученная фигура в истории человечества. От египетских математиков, живших около 2000 года до нашей эры, и вплоть до Европы эпохи Возрождения — треугольники изучались невероятно интенсивно. Сама мысль о том, что в треугольнике ещё можно открыть нечто новое, казалась абсурдной — что же тут может остаться неизведанным?
Но в середине XVIII века гениальный математик Леонард Эйлер решил исследовать свойства треугольников — занятие, которое большинство учёных к тому времени сочли бессмысленным, так как были уверены, что все возможные факты давно открыты. Но, разумеется, если большинство не смогло найти ничего нового, это вовсе не значит, что новых свойств нет. Давайте разберёмся в открытии Эйлера и его удивительной красоте.
Что такое «центр» треугольника?
Для начала давайте подумаем, что мы понимаем под центром треугольника. Все мы знаем, что у круга есть центр, но с треугольником всё не так однозначно. В целом, для любого треугольника у нас есть три отличных кандидата, каждый из которых можно назвать «центром» в зависимости от того, как на это посмотреть.
Представьте себе центроид как центр масс треугольника. Это значит, что если мысленно положить треугольник на бесконечно тонкий шпиль или острие карандаша, он будет идеально балансировать. Эту точку также называют геометрическим центром. Интересно, что это точка пересечения трёх медиан.
Напомню: медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны и, таким образом, деля её пополам. У любого треугольника есть ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются именно в центроиде. Не знаю, как вам, а мне совсем не кажется очевидным, почему все медианы должны сходиться в одной-единственной точке — но они сходятся.
Центр описанной окружности
Следующий кандидат — центр описанной окружности (циркумцентр).
Для любого треугольника можно начертить уникальную окружность, проходящую через все три его вершины. Она называется описанной окружностью, а её центр, соответственно, центром описанной окружности, циркумцентром. Кстати, этот центр является точкой пересечения трёх серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Напомню, что серединный перпендикуляр — это прямая, которая делит сторону треугольника ровно пополам под углом 90 градусов. И это тоже весьма удивительный факт.
Ортоцентр
Третий кандидат — ортоцентр. Это точка, в которой пересекаются три его высоты (или их продолжения). Он может находиться как внутри, так и снаружи треугольника. На самом деле, он лежит внутри только в том случае, если треугольник остроугольный.
Теорема о том, что три высоты пересекаются в одной точке, была известна ещё древним грекам и использовалась Архимедом. Любопытно, что центр вписанной окружности ортотреугольника (треугольника, образованного основаниями высот) совпадает с ортоцентром исходного треугольника.
Открытие Эйлера
Все три упомянутых центра были известны ещё древним грекам (а возможно, и более ранним цивилизациям). К эпохе Эйлера математики изучали их около двух тысяч лет.
И вот в 1765 году (по некоторым данным — в 1763) Эйлер совершил удивительное открытие: три этих центра всегда лежат на одной прямой! Это, должно быть, перевернуло его представление о геометрии.
Если треугольник не равносторонний, эти три центра различаются и однозначно задают прямую — знаменитую прямую Эйлера. Если же треугольник равносторонний, все три центра сливаются в одну точку, а для определения прямой, как известно, нужны минимум две различные точки.
Этот факт оставался незамеченным тысячелетиями, несмотря на то, что треугольники изучались повсеместно, а все три центра были давно известны.
Аналогия проста: это как 2000 лет разглядывать муку, воду и дрожжи — и так и не догадаться испечь хлеб.
Вы можете легко проверить это сами, если у вас под рукой есть ручка и бумага. Попробуйте нарисовать центроид, центр описанной окружности и ортоцентр в любом треугольнике. (Для наглядности лучше потом стереть сами медианы, высоты и перпендикуляры). И тогда вы увидите, как чудо и магия математики покажут вам эту таинственную прямую, которая проходит через все три точки, рассекая треугольник надвое.
В честь великого ученого эту волшебную линию теперь называют «прямой Эйлера».
Прямая Эйлера также проходит через так называемый центр девяти точек. Это центр окружности Эйлера, которая проходит через середины трёх сторон, основания трёх высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с каждой из трёх вершин. В сумме получается ровно девять точек.
Стоит подчеркнуть, что существуют и другие интересные точки, не лежащие на линии Эйлера. Но именно она объединяет самые значимые.
Интересно, что по сей день мы почти не рассказываем об этом школьникам. Я сам узнал об этом факте спустя много времени после изучения высшей математики в университете. Мне кажется, это то, что мы должны показывать всем ученикам, включая старшеклассников. Не обязательно заставлять их заучивать доказательства, но нужно показать им всю загадочность и красоту, окружающую этот геометрический факт. Мы должны позволить им влюбиться в математику.
Разве не в этом должна быть главная цель? Увлечь их, очаровать. А нужные навыки и знания неизбежно придут следом.