ВПР 2026 математика 7 класс задание 17 – подробнейший разбор (шаг за шагом)

📌 Условие
Задумали трёхзначное число, которое делится на 17 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Я решила эту задачу двумя разными способами. Они отличаются тем, как мы работаем с цифрами.
Первый способ — мы выражаем первую цифру через последнюю (2a). Здесь нужно аккуратно работать с делением с остатком.
Второй способ — мы перебираем все возможные пары первой и последней цифр. Здесь мы выписываем все числа‑кандидата и смотрим, какое делится на 17.

Изучите оба и выберите тот, который вам понятнее. А теперь — к решению 👇

✅ Решение

✍ 1 способ (выражение первой цифры через последнюю: 2a)

1. Как обозначить цифры числа?
   Любое трёхзначное число состоит из трёх цифр.
   Пусть a – последняя цифра (единицы), а b – средняя цифра (десятки).
   Тогда первая цифра (сотни) будет равна 2a, потому что последняя цифра в 2 раза меньше первой. Значит, первая в 2 раза больше последней.
   Пример: если последняя цифра a = 3, то первая цифра 2a = 6. Если a = 4, то первая 2a = 8.
   Важно: первая цифра 2a не может быть 0 и должна быть от 1 до 9. Поэтому a может быть равно 1, 2, 3 или 4 (a = 0 дало бы первую цифру 0, a = 5 дало бы 10 – это уже не цифра).
   Наше число: первая цифра 2a, вторая b, третья a.
   Через разряды: 100 · 2a + 10 · b + a = 200a + 10b + a = 201a + 10b
2. Записываем число в обратном порядке
   Число в обратном порядке (цифры идут наоборот): a, b, 2a.
   Через разряды: 100 · a + 10 · b + 2a = 100a + 10b + 2a = 102a + 10b
3. Составляем разность
   Из задуманного числа вычитаем обратное:
   (201a + 10b) – (102a + 10b) = 201a + 10b – 102a – 10b =
   10b и –10b (взаимно уничтожаются):
   = 201a – 102a = 99a

🔥 Важнейший вывод: разность не зависит от b (от цифры десятков). Она равна 99 ⋅ a.

1. Используем условие «разность больше 300»
   99a > 300
   Делим обе части на 99:
   a > 300 : 99
   300 : 99 = 3 (ост.3)
   Это значит: a > 3 (так как 99·3 = 297, а нам нужно строго больше 300).
   Какие натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5, …) больше 3? Это 4, 5, 6, …
   Значит, a ≥ 4.
2. Какие значения a подходят?
   Из шага 1 мы знаем, что a может быть 1, 2, 3 или 4.
   Условию a ≥ 4 удовлетворяет только a = 4.
   Значит: последняя цифра a = 4, первая цифра 2a = 8
   Наше число имеет вид: 8b4, где b – любая цифра от 0 до 9 (десятки мы пока не знаем).
3. Используем условие «делится на 17»
   Наше число 8b4 = 8 ⋅ 100 + b ⋅ 10 + 4 = 800 + 10b + 4 = 804 + 10b
   Нужно найти такую цифру b (от 0 до 9), чтобы число 804 + 10b делилось на 17 без остатка.
   Разделим 804 на 17 с остатком:
   804 : 17 = 47 (ост.5)
   Значит: 804 = 17 ⋅ 47 + 5
   Тогда наше число: 804 + 10b = 17 ⋅ 47 + 5 + 10b
   Чтобы всё число делилось на 17, надо, чтобы 5 + 10b делилось на 17 (потому что 17 ⋅ 47 уже делится на 17 без остатка).
4. Перебираем b от 0 до 9
   b = 0 → 5 + 0 = 5 (нет)
   b = 1 → 5 + 10 = 15 (нет)
   b = 2 → 5 + 20 = 25 (нет)
   b = 3 → 5 + 30 = 35 (нет)
   b = 4 → 5 + 40 = 45 (нет)
   b = 5 → 5 + 50 = 55 (нет)
   b = 6 → 5 + 60 = 65 (нет)
   b = 7 → 5 + 70 = 75 (нет)
   b = 8 → 5 + 80 = 85 → 85 : 17 = 5 (делится!)
   b = 9 → 5 + 90 = 95 (нет)
   Подходит b = 8.
5. Записываем найденное число
   Первая цифра 8, вторая b = 8, последняя a = 4 → 884

Ответ: 884.

✍ 2 способ (перебор пар (a, c))

1. Как обозначить трёхзначное число?
   Любое трёхзначное число состоит из трёх цифр.
   Назовём их:
   ▪ a — первая цифра (сотни)
   ▪ b — вторая цифра (десятки)
   ▪ c — третья цифра (единицы)
   Тогда само число можно записать так:
   Число = 100 · a + 10 · b + c
   Пример: если число 382, то a = 3, b = 8, c = 2, и 100·3 + 10·8 + 2 = 300 + 80 + 2 = 382. Всё верно.
   Важно: a не может быть 0, иначе число было бы двузначным.
2. Что значит «последняя цифра в 2 раза меньше первой»?
   Первая цифра = a
   Последняя цифра = c
   Фраза «c в 2 раза меньше a» означает: a = 2·c (первая цифра в два раза больше последней)
   Значит, a обязательно чётное и c = a/2.
   Так как a и c — это цифры (от 0 до 9, причём a от 1 до 9), перебираем возможные пары:
   ● a = 2 → c = 1 (потому что 2 : 2 = 1)
   ● a = 4 → c = 2
   ● a = 6 → c = 3
   ● a = 8 → c = 4
   ● a = 1, 3, 5, 7, 9 — не подходят, потому что a должно быть чётным
   ● a = 0 — не подходит (число не трёхзначное)
   Итак, возможны только 4 варианта: (a, c) = (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)
   Пока наше число выглядит так: abc, где c = a/2.
3. Записываем «число в обратном порядке»
   Обратный порядок — цифры идут наоборот: c, b, a.
   Число в обратном порядке = 100 · c + 10 · b + a
   Пример: если было 382, обратное = 283, то есть 2 · 100 + 8 · 10 + 3.
4. Составляем разность
   Из задуманного числа вычитаем обратное:
   (100 · a + 10 · b + c) − (100 · c + 10 · b + a) =
   Теперь раскрываем скобки (внимательно, минус перед второй скобкой меняет знаки у каждого слагаемого):
   = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a
5. Группируем подобные слагаемые
   Слагаемые с 100a и −a: 100a − a = 99a
   Слагаемые с 10b и −10b: 10b − 10b = 0 (они уничтожились!)
   Слагаемые с c и −100c: c − 100c = −99c
   Получаем: 99a − 99c = 99·(a − c)

🔥 Важнейший вывод: разность не зависит от b (от цифры десятков). Она определяется только первой и последней цифрами.

1. Подставляем наши пары (a, c) и смотрим, какая разность больше 300
   Формула: разность = 99 · (a − c)
   Для пары (2, 1): a − c = 2 − 1 = 1 → разность = 99 · 1 = 99
   Для пары (4, 2): 4 − 2 = 2 → 99 · 2 = 198
   Для пары (6, 3): 6−3 = 3 → 99 · 3 = 297
   Для пары (8,4): 8−4 = 4 → 99 · 4 = 396
   Условие: разность больше 300.
   Смотрим:
   99 — нет
   198 — нет
   297 — нет
   396 — ДА, 396 > 300
   Остаётся единственная подходящая пара: a = 8, c = 4.
   Значит, наше число имеет вид: 8b4, где b — любая цифра от 0 до 9 (десятки мы пока не знаем).
2. Используем условие «делится на 17»
   Мы уже знаем, что число имеет вид 8b4, где b – цифра от 0 до 9. Выпишем все такие числа:
   804, 814, 824, 834, 844, 854, 864, 874, 884, 894
   Теперь проверим, какое из них делится на 17 без остатка.
   Из этих чисел без остатка на 17 делится только 884 (884 : 17 = 52).
   Значит, b = 8, и задуманное число – 884.
3. Записываем найденное число
   a = 8, b = 8, c = 4 → 884

✅ Полная проверка
● Делится на 17? 884 : 17 = 52 (ровно) ✅
● Последняя цифра 4, первая 8. 4 в 2 раза меньше 8? 8:2=4 ✅
● Обратное число: 488
● Разность: 884 − 488 = 396
● 396 больше 300? ✅
Всё сходится.

Ответ: 884.

#ВПР2026 #ВПРматематика7класс #задание17 #математика7класс #разборзадач