Эта тема достаточно объёмная. Кажется даже, что она очень сложная, но это иллюзия, которая возникает именно потому, что здесь надо очень о многом сказать.
На фото пункты плана исследования функции. Первые шесть — это те, которые были в вопросе к экзамену, ещё два — те, которые я считаю очень важными.
Когда-то я нашла перечень вопросов к устному экзамену. Там был вопрос про функцию и её свойства в общем, ещё были вопросы про конкретные функции. А этот вопрос обобщённый про функции в принципе и их свойства. Так вот в этом вопросе были перечислены конкретные свойства, о которых необходимо рассказать.
Прежде чем мы начнём разбирать эти свойства функций, дадим два определения непосредственно самой функции и её графику.
Это было определение функции, а теперь дадим определение графику функции.
Переходим к свойствам функции.
Область определения.
Это те значения, которые может принимать независимая переменная х. Для примера рассмотрим несколько графиков различных функций.
Первый — функция вида y=kx+b, k≠0.
Это линейная функция. Графиком является прямая.
Перпендикуляры на ось х от точек прямой и будет область определения.
Очевидно, что это вся числовая прямая, множество всех действительных чисел.
Следующий пример — квадратичная функция, графиком является парабола. Рассмотрим случай, когда а>0, ветви параболы направлены вверх. Рассмотрим тот случай, когда парабола не касается оси х.
Перпендикуляры, опущенные на ось Ox, покажут нам, что областью определения будет являться вся числовая прямая. То есть опять множество действительных чисел.
Следующая функция квадратного корня.
По графику видно, что х определён на участке от нуля до плюс бесконечности. Этот промежуток и будет являться областью определения функции.
Мы рассмотрели графики функций для того, чтобы понять, какая область определения у функции. Но иногда достаточно просто посмотреть на алгебраическую запись функции, чтобы понять, какие ограничения есть.
У первой функции на фото очевидно, что ограничением будет то, что подкоренное выражение обязательно должно быть больше / равно нулю. То есть область определения будет числовой промежуток [ 0; + ∞).
У второй же функции знаменатель не может быть равен нулю. То есть областью определения будет вся числовая прямая за исключением нуля: D(x) = R \ 0 или это можно записать по-другому: D(x) = (-∞; 0) ⋃(0; +∞)
Область значения.
Это те значения, которые может принимать зависимая переменная. Рассмотрим графики тех же функций, только перпендикуляры будем строить к оси y.
Для линейной функции это будут все действительные числа, лежащие на оси y.
Для параболы.
В нашем случае нижним ограничением будет проекция вершины, какая-то точка y1, то есть область значений будет числовой промежуток [ y1; +∞)
Для функции квадратного корня область значения будет [ 0; +∞).
Отмечу, ветвь параболы функции квадратного корня будет уходить постепенно бесконечно вверх, на нашем рисунке это не очевидно.
Рассмотрели графический метод определения области значения функции. Этот метод подходит для элементарных функций.
Иногда достаточно знать специфику функции, чтобы назвать её область значения.
Для линейной функции область значения — множества действительных чисел.
Для квадратичной функции, если a>0, то есть ветви параболы направлены вверх, область значения будет от координаты вершины y0, включая эту точку, до +∞. Если же a>0, то есть ветви направлены вниз, область значения будет от -∞ до y0, включая y0.
Для функции модуля. Область определения здесь будет множества числа действительных чисел, то есть вся числовая прямая. А вот область значения, так как модуль — это расстояние, а оно не может быть отрицательным, значит, только положительная часть оси Oy. То есть числовой промежуток от нуля, включая ноль, до плюс бесконечности.
Для более сложных функций подходит аналитический метод. То есть необходимо выразить y через зависимость f(х), найти критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. Проанализировать поведение функции в этих критических точках и на границах области значения, установить минимальное и максимальное значение функции и далее сформировать область значения функции как интервал или объединение интервалов.
Нули функции.
Значения х, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции. Следует заметить, что далеко не у всех функций есть нули. Парабола, которую мы с вами рассматривали, которая была выше оси x, не имеет нулей, так как с осью х не пересекается и не касается её.
Если вершина параболы коснётся оси, то именно эта точка будет нулём функции. Причём неважно, у этой параболы, ветви будут вверх или вниз. Всё равно ноль будет только один, сама вершина.
Если же парабола ветвями пересекает ось х, то тогда нулей будет два – точки пересечения с осью. Причём неважно, ветви параболы идут вверх и пересекают ось х, или же они направлены вниз и пересекают ось. Если парабола ветвями пересекает ось х, то точек пересечения будет две, то есть будет два нуля функции.
Если прямая будет параллельна оси х, то она тоже не будет иметь нулей функций, так как не будет пересекаться с осью х.
Если же прямая не параллельна оси Ox, то она будет иметь один ноль в той точке, где пересекает осью.
Найти нули функции можно, приравняв функцию к нулю.
Для примера рассмотрим функцию косинуса.
Сейчас на фото выше не окончательный ответ. Посмотрим на график функции:
Таких значений не одно. График функции повторяется и несколько раз пересекает ось х, причём через равные промежутки. Это происходит потому, что функция косинус периодическая. Чуть позже мы поговорим об этом. В ответе же необходимо к значению ℼ/2 прибавить ℼk, где k – это числовой коэффициент, то есть принадлежит множеству целых чисел.
Мы только что говорили про нули функции. По графику видно, что это те точки, где функция меняет знак с минуса на плюс или с плюса на минус. И вот мы таким образом перешли к следующей теме
Промежутки знакопостоянства.
Те промежутки, где функция либо положительная, то есть все значения y больше нуля, либо отрицательная – все значения y меньше нуля.
По-прежнему будет рассматривать функцию косинус.
Здесь очень хорошо видно промежутки, где график функции проходит над осью Oх, а где под осью Oх.
Причём, посмотрите, эти промежутки у нас повторяются с некоторой закономерность, как я уже отмечала, так как функция косинус периодическая. Поэтому указывая промежутки знакопостоянства, мы обязательно должны указать этот самый период 2ℼk.
Вспомним графики функций, которые мы уже рассматривали.
Рассмотрим линейную функцию. У неё всего один ноль, поэтому у неё всего два промежутка: один, где значение функции меньше нуля, и один промежуток, где значение функции больше нуля.
Монотонность
Термины «возрастающая функция» и «убывающая функция» объединяют общим названием монотонность. Исследование функции на возрастание или убывание называется исследованием функции на монотонность. Дадим определение возрастающей и убывающей функции.
Иными словами, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает. И убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Рассмотрим линейную функцию.
На рисунке видно, что x2 > x1 и y2 > y1. То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция возрастает.
Рассмотрим другую прямую. По-прежнему x2 > x1. При этом y2 < y1.То есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, поэтому функция убывающая.
Периодичность.
Вернёмся к функции косинус. Проведём прямую параллельную оси Oх. Она пересечёт график функции в нескольких точках. Мы возьмём только три из них, которые находятся на убывающей части функции. На рисунке они выделены красным.
Эти точки имеют одно и то же значение y, значения же аргумента (x ) у них различны, причём повторяются через равные промежутки.
Это и есть то самое число T, про которое мы говорили в определении. В данном случае Т = 2ℼ.
Рассмотрим ещё для примера функцию тангенса. На её графике периодичность функции ещё более очевидна.
Графиком функции является тангенсоида, которая повторяется бесчисленное количество раз на координатной плоскости. Период у этой функции равен ℼ.
Экстремумы функции.
И снова вернёмся к графику функции косинус.
На рисунке видно, что сначала функция убывает. Говорим именно про тот участок функции, который изображён на рисунке.
Затем возрастает.
Потом снова убывает.
Затем снова возрастает.
И так продолжается до бесконечности. Отметим точки, где функция меняет убывание на возрастание или возрастание на убывание.
Вот эти самые точки и есть точки экстремума функции.
Причём те, которые внизу — это точки минимума, а те, которые наверху — это точки максимума. Когда у нас убывание меняется на возрастание, то точка является точкой минимума (она внизу).
Когда возрастание меняется на убывание, эта точка максимума (наверху).
Существует ряд теорем, которые не доказываются в школьном курсе математики. Они изучаются скорее в ознакомительном порядке. Мы познакомимся с одной из этих теорем, которая называется «Достаточные условия экстремума».
Обратите внимание, в этой теореме упомянута
Непрерывность
функции как важное условие. Поэтому это свойство функции нельзя обойти вниманием. Однако и эта тема рассматривается в школьном курсе математики скорее в ознакомительном порядке. Есть ряд определений о непрерывности функции. Но прежде чем мы их рассмотрим, давайте на примере разберём, какая же функция является непрерывной, а какая — нет.
Итак, у нас есть координатная плоскость, на которой есть график какой-то абстрактной функции. На том участке, который мы видим, эта функция непрерывна. Давайте дальше будем называть её графиком первой функции.
Теперь изменим нашу функцию. Возьмём и поднимем чуть выше некоторую её часть. Я думаю, что теперь очевидно, что наша функция перестала быть непрерывной, так как у неё появился разрыв.
Это видно на графике. В данном случае визуально на графике достаточно просто определить, является функция непрерывной или нет.
Вернёмся к нашей первой функции и поступим с ней несколько иначе, выколем у неё точку. Вроде бы уже не так очевидно, но, однако этого уже достаточно, чтобы появился разрыв, и наша функция перестала быть непрерывной.
Более того, даже если эта точка у нас появится на координатной плоскости, ну только чуть выше, всё равно функция от этого не станет непрерывной.
Посмотрите, когда просто была выколота точка, у неё не было координат. Когда мы эту точку перенесли выше, у неё появились координаты X и X. Появилась иллюзия непрерывности. Однако разрыв функции всё равно никуда не делся. Давайте разберёмся, почему функция не стала непрерывной.
Рассмотрим координаты первой точки, выколотой.
Теперь новой, которая чуть выше графика.
Координата х1 сохранится, это тоже будет то самое значение "a". Координата "y" станет "y2" — значение функции изменится, и оно будет отлично от точки y1=b.
Проанализируем график функции, а именно рассмотрим те точки, которые максимально близко к выколотой точке. Очевидно, что их координаты будут максимально близко к x1=a и y1=b.
Говорят, что значение «b» удачное значение функции.
Если же мы посмотрим на значение y2, то оно окажется удалённым от значения «b», а соответственно и от координат других точек графика, близких к этому «b». То есть вот это значение «y2» становится неудачным.
Оно не приближено к остальным значениям функции, к остальным точкам графика. Именно поэтому оно становится неудачным. Именно поэтому вот в этой точке у нас появляется разрыв.
Рассмотрим ряд определений:
Замечу, что приращение — это не значит обязательно рост. Это просто какое-то изменение аргумента и изменение функции. Это может быть число как положительное, так и отрицательное. Обозначается приращение значком дельта.
Что нам даёт определение два?
Оно нам поясняет определение 1.
Чем ближе две точки на графике, тем меньше разность их координат, то есть приращение аргумента стремиться к нулю.
При этом и значения функции тоже будут максимально близко, то есть и приращение функции стремиться к нулю.
Вспомним выколотую точку: если бы она не была выколота, её координаты отвечали бы этому правилу. Та же точка, что появилась выше не отвечает этому правилу. Приращение аргумента у неё будет стремиться к нулю, а приращение функции – нет. Поэтому эта новая точка и не ликвидирует разрыв функции, т.е. функция перестанет быть непрерывной.
На основе этих двух определений получаем новое истолкование понятия непрерывности функции в точке.
На этом всё про основные свойства функций.